Nu tittade jag på ännu en Numberphilevideo med en tankeväckande räkneövning. Här vill jag återge den fast med lite snyggare siffror och utan videons brasklappar om "slightly dodgy".
Gåtan är följande: Två bilister i likadana bilar kör i 40 respektive 50 kilometer i timmen åt samma håll på en väg. När de är jämsides (dvs när den snabbare precis kör om) dyker ett hinder upp och båda tvärnitar. Vi bortser från reaktionstid, dvs vi antar att de är jämsides när de börjar bromsa. Vi antar också att de har likadana bilar med lika effektiva bromsar, däck osv.
Om den långsammare bilen nätt och jämnt hinner stanna för att undvika en kollision, dvs stannar precis vid hindret, vilken hastighet har då den snabbare bilen när den kolliderar med hindret?
Ett resonemang som nog de flesta inser är för naivt och optimistiskt är att om den långsammare bilen får ner hastigheten från 40 till noll, hinner den snabbare bromsa från 50 till 10.
Det stämmer inte, men notera att vi faktiskt antar att bilarna hinner bromsa bort 40 km/h på samma tid. Detta är det antagande som ligger bakom standardfrågorna på körkortsprovet, som går ut på att dubbelt så hög hastighet ger fyra gånger så lång bromssträcka osv. Antagandet är att man bromsar med samma kraft vid alla hastigheter. Detta kan knappast stämma exakt, men är nog en hyfsat bra approximation för vanliga trafiksituationer.
Problemet för den snabbare bilisten är att han (det är oftast en man) hinner längre på denna tid. Så kraschen blir definitivt i mer än 10 km/h.
Nästa tanke är att räkna ut hur bromssträckorna förhåller sig till varandra. När hastigheterna har förhållandet 4 till 5, blir bromssträckorna som 16 till 25. Det är egentligen ganska enkelt och hör som sagt till teoriprovet: Sträckan är tiden gånger hastigheten, och både tiden och den genomsnittliga hastigheten under inbromsningen kommer att ha förhållandena 4 till 5.
När den snabbare bilen kraschar in i hindret har den alltså 9/25 av sin hypotetiska bromssträcka kvar. Kanske borde den då även ha nio tjugofemtedelar av sin ursprungliga hastighet? Det blir i så fall 18 km/h, rejält mycket mer än de 10 som det naiva tankesättet ledde till.
Men det är faktiskt betydligt värre! När vi har 9/25 av bromssträckan kvar, får vi dra kvadratroten ur 9/25 för att få andelen av hastigheten vi har kvar. Detta enligt exakt samma princip som nyss! Och när vi drar roten ur ett tal mellan 0 och 1, får vi ett större tal, i det här fallet 3/5.
Svaret är alltså att den snabbare bilen inte ens hinner halvera sin fart, utan kraschar in i hindret i 30 km/h!
Det här kan vara något att tänka på när vi pratar hastigheter i tätorter. Det har ofta påpekats att riskerna för oskyddade trafikanter ökar dramatiskt i ett fönster runt 30-40 km/h, och då pratar vi alltså om hastigheten vid själva kollisionen (även om det nog är svårt att få fram exakta data). Men dessutom kan alltså hastigheten vid en kollision i sin tur öka dramatiskt även vid en liten skillnad i hastighet före inbromsning.
Men tillbaka till vår räkneövning. Den som kan sin Pythagoras sats känner säkert igen både förhållandena 3:4:5 och kvadrerandet följt av kvadratrotsutdragning. Och det stämmer generellt. Närhelst vi har en Pythagoreisk trippel, dvs tre tal som uppfyller \[ a^2 + b^2 = c^2,\] får vi motsvarande slutsats: Om bilarna hade hastigheterna $b$ och $c$ där $b$ är det mindre talet, kommer den snabbare bilen att ha hastigheten $a$ efter den sträcka som den långsammare bilen behövde för att stanna.
Vi kan till exempel vända på det och jämföra två bilar med hastigheterna 30 kontra 50 km/h. Då blir slutsatsen att den som kör i 50 kraschar i 40 när den som kör i 30 hinner stanna!
Nästa Pythagoreiska trippel, $5^2 + 12^2 = 13^2$, handlar lika pedagogiskt om vad som händer när någon blir stående på motorvägen. 120 eller 130 kan väl kvitta kanske man tänker. Men händer det en olycka framför och den som kör i 120 precis hinner stanna, så kommer den som höll 130 att braka in med en kvarvarande hastighet av 50 km/h.
