Yatzy!

Svensk sommar är inte bara jordgubbar, mygg och bondbränna. Regniga dagar i sommarstugan hör det också till att man spelar Yatzy. Och ljusa grillkvällar kan man köra trädgårdsvarianten!

Det viktigaste är förstås att man har roligt när man spelar. Och extra roligt blir det ju när man vinner!

Ett parti yatzy handlar i hög grad om tur med tärningarna, men man kan definitivt hjälpa till själv genom de beslut man tar. Något som kanske förvånar den som mest har kört på känn är att en bra strategi kan snitta nästan 250 poäng! Eller 248.44 för att vara mer exakt. Jag skulle tro att de flesta du möter spelar bort 20 poäng eller mer per parti på beslut som inte är optimala, så om du spelar smart kan du få betydligt mer än din beskärda andel av vinster!

Här följer några tips på hur du kan tänka när du spelar. De förutsätter att du kan reglerna och har spelat ett par gånger. Tipsen bygger på vad jag själv har noterat i data från en algoritm av Jakub Pawlewicz som jag implementerade för "skandinavisk" yatzy för några år sedan. Jag plockade nyligen fram programmet igen efter att ha diskuterat yatzy med vännen Patrik Höglund, som experimenterar med att lära neurala nät spela. Tack Patte!

Mina rekommendationer skiljer sig från gängse strategi för amerikansk yatzy, vilket förklaras av skillnader i reglerna. Till exempel har vi två extra kategorier (Ett Par och Två Par), högre bonus, och räknar prickar på kåk i stället för att ha ett fast poängtal. Det här gör att det blir både lättare och viktigare för oss att få bonus, och att vi överlag fokuserar mer på femmor och sexor.

1. Säkra bonusen!
Ska du vinna i yatzy så ska du se till att få de 50 bonuspoängen, så är det bara. Vad du bör tänka på är att det är mycket viktigare att få många femmor och sexor än att få många ettor. Om du till exempel får 6-4-2-1-1 i första slaget, så spara sexan, inte ettorna! Detta har också att göra med att kombinera chanserna: Sparar du sexan kan du få en annan bra kombination, till exempel ett högt tvåpar eller en bra kåk.
Ett tidigt fyrtal i femmor eller sexor gör att du kan chansa friare i fortsättningen (se punkt 6). Se till att ta det ovanför strecket, inte på Fyrtal!

2. Håll koll på hur du ligger till för bonus!
Gränsen för bonus ligger vid 63 poäng, vilket är vad du får med tre av varje på fälten Ettor till Sexor. Du kan därför enkelt hålla koll på läget genom att jämföra med det. Om du till exempel får 20 på femmor, innebär det att du ligger +5. Skulle du sedan nöja dig med 1 poäng på Ettor, ligger du fortfarande +3, och så vidare. En tumregel är att aldrig hamna på minus med detta räknesätt. Det går förstås inte att garantera, men med en bra strategi ska du sällan riskera att missa bonusen.

3. Kombinera chanserna!
Du behöver inte bestämma dig för att försöka få en viss sak och samla till det. Spara hellre bra tärningar och se vad det blir. Om du till exempel får 6-5-2-2-1 i allra första slaget, så spara 6-5! Då kan du nästa gång bestämma om du ska satsa på femmor, sexor eller både-och.
Det är sällan man ska spara mot en straight. Undantaget är om du får 5-4-3-2. Då lönar det sig ofta att försöka sig på en straight eftersom du har chansen till både Stor och Liten. Dock är det bra om du i så fall har någon idé om vad du ska göra de nästan hälften av gångerna då detta misslyckas (se till exempel punkt 5 och 6!).

4. Spara inte på småkrafs!
Som redan har antytts bör du oftast inte spara låga par såvida du inte behöver en viss siffra för bonusen. I skandinavisk yatzy är det bara Yatzy som ger något annat än summan av de ingående tärningarna. Stegarna har förstås en fast poäng, men det du fyller i på Ett Par, Tvåpar, Tretal, Fyrtal, Kåk och Chans bör domineras av fyror, femmor och sexor. En kombination som 6-6-1-1 hör hemma på Ett Par eller Ettor, inte på Tvåpar. Mot slutet av partiet kan du dock få nöja dig med att överhuvudtaget få poäng, i synnerhet på Kåk och Fyrtal.

5. Chans är ingen slaskhög!
Använd inte Chans bara som en utväg när du inte får någon bra kombination! Fältet Chans bör helst ge minst 21 poäng. Sitter du med bara skräp efter tredje kastet är det oftast bättre att till exempel stryka Liten Straight.
Å andra sidan ska du inte vara rädd för att "slösa bort" Chans tidigt om du får bra poäng. Får du 6-6-5-4-3 tidigt, så tag Chansen! Ett Par kommer du att få igen.

6. Ettor kan vara en bra slaskhög!
Om du ligger bra till för bonus, till exempel för att du tidigt har fått 24 poäng på Sexor, kan du med fördel använda fältet Ettor som "fallskärm" efter misslyckade försök att få svårare kombinationer. Ettor kan i sig ge max 5 poäng, så om inte bonusen är i fara är det i regel bättre att stryka Ettor än att till exempel ta futtiga 17 poäng på Chans. Det här är anledningen till att du kan chansa friare om du tidigt säkrar bonusen.

7. Stryk smart!
Att behöva stryka är förstås inte roligt, men det är bara i riktigt festliga fall du kan få hela protokollet ifyllt. För det mesta kommer du att missa några kategorier, men det gör dina motståndare också. Du kan tjäna viktiga poäng genom att stryka i tid!
Om bonusen är säkrad kan du ibland offra Ettor, men i annat fall kan du behöva stryka ett svårare fält när du hade kunnat få poäng på ett lättare. Nöj dig inte med 12 poäng på Tvåpar om du i stället kan stryka Liten Straight!
Jag har ett vagt minne av att jag en gång behövde förklara för mina kära släktingar att jag inte alls var sur och att jag visst ville fortsätta spela, efter att jag hade strukit Liten Straight i första omgången!
Men Pawlewicz' algoritm ger mig upprättelse: Blir du sittande med till exempel 6-4-3-3-1 efter första omgången och säger "Äsch, 6 poäng på treor!" så har du valt det sjätte bästa alternativet. Att stryka Liten Straight är bäst. Därefter kommer att ta 1 poäng på Ettor, att stryka Stor Straight, att ta 17 på Chans, samt att ta 6 på Ett Par.

8. Var inte rädd för att stryka Yatzy!
Det bär emot att behöva stryka Yatzy. Det är liksom att ge upp spelets idé, det hörs ju på namnet. Och tänk bara nesan att sedan få Yatzy och så har man redan strukit det!
Att stryka Yatzy är dock inte som att offra kungen i schack. Du kan vinna ändå, till och med över en motståndare som har fått Yatzy. 50 poäng känns mycket, men det är faktiskt inte så ovanligt att det äts upp av övriga poäng. Nu låter det som om jag säger tvärtemot vad jag sa nyss om bonusen, men skillnaden är att du inte kan spara ihop till en Yatzy. Du kan inte öka Yatzychanserna särskilt mycket genom att offra annat.
Chansen att få Yatzy på en omgång (tre kast) är ungefär 4.6%. Även om du bara satsade på Yatzy genom hela spelet, skulle chansen att lyckas nätt och jämnt komma över 50%.

9. Överblick: Siffror, Lätta, Svåra, och Yatzy.
Ett sätt att överblicka de femton fälten på spelplanen är att gruppera dem i Siffror, Lätta, Svåra, och Yatzy. Sifferfälten är Ettor till Sexor. Därefter har vi fyra lätta fält: Ett Par, Tvåpar, Tretal och Chans (även om Chans står längre ner i protokollet). Dessa fält kommer du nästan alltid att få poäng på. Sedan kommer fyra svåra fält: Fyrtal, Liten och Stor Straight, och Kåk. Här kommer du oftast att behöva göra någon eller ett par strykningar. Slutligen har vi det svåraste fältet av alla, Yatzy!
Om du tänker så, kan du hålla reda på vilka fält du har kvar och ungefär hur du ligger till. Ett sätt att grovt hålla koll på spelarnas chanser är att utgå från att alla får bonus och att alla får poäng på de lätta fälten. Sedan blir de svåra fälten mer utslagsgivande. I väldigt runda slängar är det 20 poäng per svårt fält. Och förstås 50 för Yatzy.

10. Ta ut målvakten? Två svåra kompenserar Yatzy!
Som vi har varit inne på kan det vara dumt att ha Yatzy kvar till sist eftersom du blir utan poäng 19 gånger av 20. Å andra sidan kanske du behöver 50 poäng för att komma ikapp den som leder. Att spara Yatzy till sist är lite som att ta ut målvakten. Det ger chansen att vända ett underläge, men oftast lyckas det inte.
Om du ligger bra till kan det vara bättre att stryka Yatzy tidigare (inte för tidigt dock, yatzyrutan är värd betydligt mer tidigare i spelet!). Men om någon annan redan har fått Yatzy, ger jag då inte i praktiken upp mina chanser att vinna? Här kan en tumregel vara att du har rimliga chanser att slå en motspelare som har fått yatzy om du klarar två svåra fält mer. Det räcker inte riktigt i sig, men oftast är det så att den som har fler strykningar också har sämre poäng på de lätta fälten.

Äsch. nu blev det precis tio punkter. Vad fånigt!

Misslyckad penisbluff

I maj i år publicerade tidskriften Cogent Social Sciences en märklig artikel av filosofen Peter Boghossian och matematikern James Lindsay. Artikeln har titeln The conceptual penis as a social construct, och förklarar bland annat att penisen bäst förstås som en social konstruktion snarare än anatomiskt.

Samtidigt beskrev artikelförfattarna på bloggen skeptic.com hur de avsiktligt hade skapat en nonsenstext i syfte att avslöja genusvetenskapen som ideologiskt styrd och ovetenskaplig.

Detta så kallade conceptual penis hoax gick dock rejält snett. Som redan har påpekats, till exempel här, här, och här, är Cogent Social Sciences en medioker tidskrift av den typ där författarna förväntas betala för publicering. Att man där får in en nonsensartikel tyder ingalunda på något problem hos just genusvetenskapen, utan bekräftar bara vad vi akademiker redan visste, nämligen att det slarvas med granskningen på många håll.

Den som inte känner till floran av "vetenskapliga" tramspublikationer kanske då invänder att det här väl måste ta priset, och att det nog ändå säger någonting om genusvetenskapen när man publicerar så uppenbart svammel. Men nej, det gör det inte. Träsket av skräptidskrifter med påstådd “peer review” är verkligen bottenlöst och trotsar alla ämnesgränser. Och penisbluffen är inte i närheten av något pris.

Ett annat uppmärksammat exempel är den tio sidor långa artikeln Get me off your fucking mailing list, där textmassan endast består av upprepningar av denna titel. Denna “artikel” accepterades år 2014 av tidskriften International Journal of Advanced Computer Technology efter påstådd peer review (men drogs tillbaka av den förvånade “författaren”).

Publiceringshetsen och förlagens möjligheter att mjölka forskningsinstitutioner på skattepengar driver på mot en marknad där vi bland skräppublikationerna finner hela skalan från datorgenererat blaj upp till hederlig men misslyckad forskning. Jag skulle som matematiker kunna peka ut artiklar med den matematiska jargongens motsvarighet till den konceptuella penisen, publicerade av väletablerade förlag, och som inte ens är fejkade.

Genom åren har jag i olika sammanhang diskuterat sådana gränslöst dumma men ändå efter peer review publicerade artiklar inom mitt eget och angränsande områden som fysik och datavetenskap. Men jag tror aldrig att det har föresvävat någon att dessa publikationer skulle peka mot bristande vetenskaplighet generellt inom matematik, teknik eller naturvetenskap. Många som flabbade åt Get me off your fucking mailing list noterade förmodligen inte ens att den hörde till fältet datavetenskap. Detta var uppenbart oväsentligt.

Men nu var det genusteori som Boghossian och Lindsay gjorde parodi på. Och det slog an något hos dem som retar sig på feminism och genus. Äntligen tyckte de sig kunna påvisa hur alltigenom tramsigt detta är.

Bland dem som tog chansen fanns Göteborgs-Postens ledarskribent David Eberhard. Han dundrade näven i bordet och krävde att man "rensar upp i genusdårskapen". “Ett litet axplock i det postmodernistiska flödet kan illustrera hur illa det är ställt med vetenskapligheten inom området”, påstår han.

Nej, det kan det inte. Eller för att vara mer precis, ett sådant axplock påvisar ingenting. Eberhard citerade ett antal genusartiklar, men frågan blir varför han inte passade på att i samma veva vederlägga matematik, naturvetenskap och sitt eget ämne medicin genom en snabb googling på till exempel "nonsense publication".

Ett verkligt problem är dock allmänhetens och många av mina forskarkollegors överdrivna förtroende för den granskningsprocess som kallas “peer review”. Denna process innebär att någon eller ett par forskare anonymt och utan ersättning ombeds granska en inskickad artikel, och deras rapporter förblir konfidentiella. Trots att processen undandrar sig insyn, och trots de otaliga exemplen där det har gått snett, betraktas peer review som en gold standard för vetenskaplig kvalitet.

Historien om den konceptuella penisartikeln är intressant på flera plan. Man kan fråga sig vad det beror på att genusforskningen pekas ut som ovetenskaplig på basis av en bluffartikel och att historien valsar runt på sociala medier där var och varannan kommentator anser sig kunna bedöma hela detta fält, samtidigt som matematik, teknik och naturvetenskap verkar stå över motsvarande misstankar.

Nu har den aktuella bluffartikeln som sagt redan kritiserats från många håll, men det är inte första gången genusvetenskapen ifrågasätts med citat som påstås "tala för sig själva". För cirka tio år sedan trendade genus som ett buzzword inom forskningsansökningar, något som till exempel bloggaren Tanja Bergkvist (egentligen med rätta) retade sig på. I Svenska Dagbladet raljerade hon över forskningsprojektet Trumpeten som genussymbol, med utdrag ur projektansökningen. Artiklar om detta forskningsprojekt har delats flera gånger på facebook av trumpetande vänner, och jag gissar att det är ett av de mest hånade projekten i Vetenskapsrådets historia.

Jag kan inte uttala mig om kvaliteten på trumpetprojektet, men så vitt jag kan se handlar det om forskning i musikhistoria som åtminstone faktiskt har bedrivits. Frågan är varför det inte blir rabalder på debattsidorna vartenda år när forskare i till exempel mitt och Bergkvists ämne matematik får anslag för modeord som bioinformatik (trendade runt millennieskiftet) eller big data (på senare år), när det i vissa fall kan misstänkas att de sökande inte ens känner till att begreppen i fråga finns på riktigt. Vad beror det på att vissa forskare hudflängs i media, medan andra kommer undan?

Kan vi verkligen utesluta den ironiska möjligheten att genusfaktorer spelar in i detta?

Det är oklart vad kritikerna anser är fel med genusvetenskapen och vad den av Eberhard efterfrågade "upprensningen'' skulle bestå i. Ovannämnda utbud av skräpartiklar är en konsekvens av en internationell fri marknad, där den enda upprensning vi kan göra är att påverka svenska myndigheter att sluta betala för eländet (hur och varför vi fortsätter att betala är en annan diskussion).

Ska genusteorin rensas ut för att genusfrågor är oviktiga? Fast tanken att skillnaderna mellan män och kvinnor är så små att de av den anledningen inte förtjänar att studeras är inte vad till exempel Eberhard annars brukar föra fram.

Eller är problemet helt enkelt att de som forskar i genusteori är för dåliga på det? Då blir frågan varför inte bättre forskare tar över spelplanen och konkurrerar ut de sämre. Borde vi kanske satsa mer pengar på genusvetenskap för att därigenom locka starkare forskare? Borde Eberhards rubrik i stället ha varit "Rusta upp i genusvetenskapen"?

En ytterligare möjlighet är att genusforskningen har hamnat i ett låst läge där mediokra forskare styr och sätter normerna, medan starkare forskare på grund av dessa normer inte kan hävda sig. Menar Eberhard att det därför krävs en "upprensning" där man bryter mönstret genom att politiskt tillsätta tjänster avsedda för dessa starkare forskare, trots att de enligt gängse inomvetenskapliga kriterier är sämre meriterade?

Detta är en intressant tanke, och man kan fråga sig om sådana låsningar kan ha uppstått tidigare, inom andra akademiska discipliner.

13532385396179, the number which is its own prime factorization

Here is how you could, until just a couple of weeks ago, have made a thousand dollars by solving a math problem. The problem, with a bounty from John Conway, has to do with the prime factorization of integers. Take a number like \[120245675.\] This number, broken down to its prime factors, becomes
\[5 \cdot 5\cdot 11\cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 89.\]
Here we have sorted the factors from smaller to larger, and using exponent notation we can write the factorization as \[5^2\cdot 11 \cdot 17^3 \cdot 89.\]
Conway's weird idea was to consider the factorization itself as a new number by just reading the digits, including the exponents, from left to right:
\[521117389.\]
This would probably be frowned upon by many of my mathematician colleagues ("so typical of Conway!" I hear them say), who would point out that the operation is completely artificial and depends on writing the numbers in base 10.

But Conway is famous for inventing scientifically silly-looking puzzles and then asking (and answering!) extremely deep questions about them. He is the inventor of the famous Game Of Life that is believed to have wasted a substantial fraction of the world's computational resources in the last three decades of the twentieth century. Less well known is that, using Life-patterns discovered by various enthusiasts, he proved that basic questions about the game are undecidable in the sense of Turing and Gödel, and that self-replicating structures can be built in the game. And when he studied some simple two-person games, he happened to discover an amazingly rich theory of infinite numbers, now called the surreal numbers.

Anyway, Conway considered the function $f$ that maps a number to its prime-factorization-sorted-with-exponents-dropped-interpreted-in-base-10. And by the way, no, I don't think that this one will challenge the foundations of mathematics or the philosophy of science.

His 1000-dollar question was about what happens if we start with a number, apply the function $f$, and repeat.

If $N$ is a prime, then $f(N)=N$ and that's that. But for most other numbers, $f(N) > N$. For instance, the number $283439$ is certainly larger than $283\cdot 439$, since the former is more than 1000 times $283$ while the latter is only $439$ times $283$. And therefore $f(283\cdot 439) > 283\cdot 439$. It's easy to find examples where $f(N)<N$, like $f(512)=29$, but they require $N$ to have relatively few prime factors where at least one occurs to a power.

If we start from a number like 18, then in 3 steps we will reach 232, 2329, and 17137, which is prime. But if we start from 20, then after 50 iterations we will have reached a 66-digit (still non-prime) number with the numbers increasing in every step, and it seems entirely possible that the numbers will grow without limit, never reaching a prime.

There are deep and very precise results in number theory explaining how often one should expect to hit primes in a randomly increasing sequence of numbers. Basically the "probability" of a number being prime is inversely proportional to the number of digits, which means that a sequence that "only" grows exponentially can be expected to contain infinitely many primes, while slightly faster growing sequences might very well not contain any.

Iterating Conway's function will (under some assumptions of the numbers behaving like "average" numbers) lead to one of those sequences that grow just a smidgeon faster than exponentially (as long as it doesn't encounter a prime), so when it comes to iterating from a number like 20, it's not even clear (to me) what to guess based on the statistical properties of prime factorization.

This is what might have motivated Conway to award 1000 dollars for the proof or disproof of the statement that iterating $f$ starting from any integer $\geq 2$ will eventually lead to a prime. Just to demonstrate that silly looking problems can be extremely hard.

Nevertheless, the problem was recently solved by James Davis, an amateur mathematician, and there is already a Numberphile video on this.

What Davis decided to try was to refute Conway's conjecture by constructing a non-prime number $N$ for which $f(N)=N$.

On the whole, almost all numbers have their largest prime factor occurring to power 1 in their prime factorization. So it seems reasonable to search for an $N$ that ends in the digits of its largest prime factor, and Davis restricted his search to such numbers.

At first, this seems a bit weird. Could, for instance, a number that ends in the digits $7993$ be divisible by $7993$? Well, certainly! If we multiply $7993$ by anything divisible by $10000$, like $640000$, we will get a number that ends in four zeros. If we then add $7993$, making it $640001\cdot 7993$, we get a number, in this case $5115527993$, that ends in $7993$ and has $7993$ as one of its prime factors. This particular number doesn't give a counterexample to the Conway conjecture, but at least we have a method for finding candidates.

Now we could try all four digit primes say, and multiply them with numbers ending in 0001, checking whether we get a counterexample. But we can do even better. If instead we start from a number like $640001$, we can ask what it would take for a four digit prime $p$ to provide a counterexample of the form \[f(640001\cdot p) = 640001\cdot p.\]
Perhaps we can figure out what $p$ will have to be, instead of searching through all four-digit primes.

What we can do is to look at the prime factorization of the number $640001$. Provided all factors of $640001$ are smaller than $p$, $f(640001\cdot p)$ will consist of the digits of $f(640001)$ followed by the digits of $p$, which is \[f(640001)\cdot 10000 + p.\]
The equation \[f(640001)\cdot 10000 + p = 640001\cdot p\] now simplifies to
\[\frac{f(640001)}{64} = p.\]
The number $640001$ factorizes as $29^2\cdot 761$, which means that $f(640001) = 292761$. Since \[\frac{292761}{64}\] isn't even an integer, let alone a prime, we don't have to look further but can move on to computing \[\frac{f(650001)}{65}\] and so on.

This is what Davis did. Presumably he started by looking for a two-digit final prime, discovering the near-miss \[ \frac{f(1701)}{17} = \frac{f(3^5\cdot 7)}{17} = \frac{357}{17} = 21,\] that provides the equation \[35721 =  3^5\cdot 7 \cdot 21.\] If only $21$ had been a prime...

Then he moved on to searching for 3-, 4-, and 5-digit final primes, and eventually got to
\[\frac{f(140700001)}{1407} = \frac{f(13\cdot 53^2 \cdot 3853)}{1407} =\frac{135323853}{1407} =  96179.\]
Perhaps this was a moment of Bingo! rather than Heureka, but anyway, 96179 is not only a five-digit integer as required, but also a prime. Therefore the number
\[13532385396179 = 13\cdot 53^2\cdot 3853 \cdot 96179\] refutes the Conway conjecture.

The geeky part of me just loves weird coincidences like this one. I mean forget about $111111111^2$ and the multiplication table of $142857$, those are just what we expect in view of algebra, but this...

I don't know exactly in what order Davis was searching, but finding the counterexample must have taken no more than a tiny fraction of a second of computer time, since only a few thousand cases would need to be tried.

This perhaps doesn't seem too hard in retrospect, but to find it you have to dare search for the simplest type of counterexample even though it seems unlikely to exist. Notice that in order for this to work, the number $140700001$ had to have a fairly large repeated prime factor so that $f(140700001)$ becomes smaller than $140700001$, otherwise the quotient would have been greater than $10^5$ and therefore not five-digit. Then the number $f(140700001) = 135323853$, which has no simple arithmetical relation to $140700001$, had to be divisible by $1407$, and only one number in $1407$ is. Finally the quotient $96179$ had to be a prime number.  

As Davis eloquently commented on MathOverflow: "The point I took away was that there exist problems that look so hard, nobody has tried anything easy".