Nu är det dags för tentarättning igen, och vad passar då bättre än att blogga lite för att skjuta upp själva rättandet? Jo en kopp kaffe förstås. Nåja, hur som helst... Jag kan inte låta bli att fundera lite kring studenternas frågor inför tentan.
Två vanliga frågor är "Behöver vi kunna satsen X?" och "Får vi ha miniräknare?".
Den senare har jag ett enkelt svar på numera, jag har nämligen bestämt mig för att inte tillåta miniräknare. Inte för att jag egentligen har något emot sådana, utan för att det blir för rörigt att skilja mellan godkända och otillåtna miniräknare. En del av miniräknarna kan nämligen lite för mycket, till exempel invertera matriser, lösa ekvationssystem, minsta kvadratanpassning mm. Det finns en grupp av officiellt "Chalmersgodkända" miniräknare, men de studenter som redan har en gammal miniräknare börjar förstås då undra om den är godkänd, och vad de ska göra om den inte är det. Skaffa en som är godkänd fastän jag säger att det inte behövs? Eller köra utan. Men det är väl rimligt att alla studenter tenterar på samma villkor. Så nej, inga miniräknare.
Den förstnämnda frågan har egentligen ett lika enkelt svar. Nej, ni behöver inte kunna några satser. Ni får lösa tentauppgifterna hur ni vill. Jag antar att anledningen till frågan är att man undrar om det blir
någon tentauppgift av typen "Formulera och bevisa satsen X".
Men det blir det inte, åtminstone inte när jag konstruerar tentan.
Skönt, verkar många tänka, då slipper vi plugga in spektralsatsen.
Men det är en ganska märklig fråga.
Jag tänker på hur ovanliga två liknande frågor är. Det är hittills aldrig någon som har undrat om man måste använda miniräknare, alltså som "Jag gillar att räkna för hand, är det okej om jag gör det i stället för att använda miniräknaren?" (det händer förstås att studenter undrar om det blir några uppgifter där miniräknare behövs, men det är en annan sak). Och det kan man ju förstå. Att miniräknare är tillåten innebär självklart inte att man måste använda den. Miniräknaren är ju ett hjälpmedel.
En annan ytterst sällsynt fråga är "Får vi kunna satsen X på tentan"? Jäsiken om man inte skulle ta och förbjuda kurslitteraturen. Så kanske den blev mer spännande.
Och sedan kommer tentan, med frågor som till exempel "Bestäm den principala (alltså minsta icke-negativa) resten av $5^{36}$ modulo 37".
Antingen räknar vi på:
$5^2 = 25 \equiv -12$, $5^4 \equiv (-12)^2 = 144 \equiv -4$, $5^8 \equiv (-4)^2=16$, $5^{16} \equiv 16^2 =256 \equiv -3$, $5^{32} \equiv (-3)^2 = 9$, $5^{36} = 5^{32} \cdot 5^4 \equiv 9 \cdot (-4) =-36 \equiv 1$.
Eller så noterar vi att 37 är ett primtal, och hänvisar till Fermats sats.
Och i linjäralgebran kanske man ska bestämma alla egenvärden och egenvektorer till matrisen \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}.\] Enkelt, vi bara räknar och räknar och räknar tills vi får fram en egenvektor. Sen gör vi om alltihop och räknar och räknar och räknar tills vi får fram den andra.
Eller så plockar vi fram den andra vektorn med spektralsatsen, matrisen är ju symmetrisk (och ännu mindre kan vi räkna om vi dessutom spelar lite med den icketriviala automorfin på $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, men då är vi redan lite off-topic).
Det jag egentligen funderar över är att många av studenterna verkar försöka hitta strategier där de kan läsa in så lite som möjligt av materialet och ändå klara tentauppgifterna. Det finns en förkärlek för metoder som alltid fungerar, och där man alltid gör på samma sätt. Kunskaper om genvägar (när man exempelvis stöter på en symmetrisk matris) betraktas som en onödig börda.
Jag önskar ofta att studenterna skulle tänka på kursmaterialet (inklusive satser och bevis!) på samma sätt som de tänker på miniräknaren. Som något som gör det lättare att räkna, förstå, och klara tentan, inte svårare.
Jag funderar även på förhållandet mellan "högre" och "lägre" former av förståelse, och hur vi examinerar. Den traditionella mattetentan har väl ett, skulle jag påstå, oförtjänt dåligt rykte av att bara kräva "mekanisk räkning". Men då tycker jag det är bättre att göra en uppgift som kan lösas med råräkning, och där svaret ger en hint om en allmän sats, än att försöka examinera på en "högre" nivå med direkta frågor om denna sats.
Jag får fundera vidare. Tillbaka till tentarättningen. Eller om man skulle ta en kopp kaffe först.
Thursday, March 17, 2016
Sunday, March 13, 2016
Alternaiv medicin
Som jag berättade på Facebook häromdagen så hade jag råkat skriva ordet "alternaivmedicin", vilket kändes som ett ganska bra ord. Vännen Moa tyckte till och med att det var "Tage Danielssonskt", och undrade om jag inte kunde skriva en liten text. Med Danielssonska ambitioner kan det förstås inte bli mer än ett pekoral, men roligt var det! Jag tror jag kunde hålla på hur länge som helst! Och nu rättar blogger själv avslutningen till "alternativ". Nåja, då får det stå så!
Alternaiv medicin
Nu finns det en helande och kurativ
metod, om än något spekulativ,
som utmanar allt det vi tror att vi vet,
och all vår beprövade erfarenhet.
Lika mot lika var Hahnemanns giv,
så slipper de rika kirurger och kniv.
Nu har vi omsatt miljarder plus skatten,
fast inget finns kvar där utöver rent vatten.
Biopati med astralkroppsremiss,
mot elektrofobi och oral galvanism,
Ayurveda och skvaller och skrock
mot smärta och sveda, kristaller mot bråck.
Vågekvationer med delta och psi
mot inflammationer och hypokondri,
så kan fysiken med grekiska tecken
rå bot på koliken och tandläkarskräcken.
Qigong och massage med kinesiska nålar
mot ångest, läckage och lagom med stålar,
antroposofisk shiatsu och yoga,
placebo vid nedsatt betalningsförmåga.
Healing med feeling och renande bikt
vid feber, förkylning och skenande gikt.
Kyrkliga riter med talande tungor
mot KOL och bronkit, och skralare lungor.
Samtal i grupp och holistisk hypnos
mot anfall av krupp, och cystisk fibros,
tag dina chanser utefter finanser,
att bota din cancer i trans och seanser.
Metoden, trots allt som vi tror att vi vet,
och all vår beprövade erfarenhet,
den utgör en lukrativ sjukvårdsdoktrin,
vi kallar den "alternativ medicin".
Alternaiv medicin
Nu finns det en helande och kurativ
metod, om än något spekulativ,
som utmanar allt det vi tror att vi vet,
och all vår beprövade erfarenhet.
Lika mot lika var Hahnemanns giv,
så slipper de rika kirurger och kniv.
Nu har vi omsatt miljarder plus skatten,
fast inget finns kvar där utöver rent vatten.
Biopati med astralkroppsremiss,
mot elektrofobi och oral galvanism,
Ayurveda och skvaller och skrock
mot smärta och sveda, kristaller mot bråck.
Vågekvationer med delta och psi
mot inflammationer och hypokondri,
så kan fysiken med grekiska tecken
rå bot på koliken och tandläkarskräcken.
Qigong och massage med kinesiska nålar
mot ångest, läckage och lagom med stålar,
antroposofisk shiatsu och yoga,
placebo vid nedsatt betalningsförmåga.
Healing med feeling och renande bikt
vid feber, förkylning och skenande gikt.
Kyrkliga riter med talande tungor
mot KOL och bronkit, och skralare lungor.
Samtal i grupp och holistisk hypnos
mot anfall av krupp, och cystisk fibros,
tag dina chanser utefter finanser,
att bota din cancer i trans och seanser.
Metoden, trots allt som vi tror att vi vet,
och all vår beprövade erfarenhet,
den utgör en lukrativ sjukvårdsdoktrin,
vi kallar den "alternativ medicin".
Wednesday, July 8, 2015
Experten: Det är den som möter som ska väja
"Det är för fan den som möter som ska väja". Så lär en av Sven Stolpes medtrafikanter ha sagt på en smal bro i Värmland för många år sedan.
Dumt, kan man tycka. Trafikidéer på ungefär samma vetenskapliga nivå presenteras nu i artiklar av Erik Söderholm på Auto Motor & Sport, och Mattias Rabe på Teknikens Värld.
"När bilförarna inte tvingas bromsa in för långsamma bilister blir vägarna betydligt säkrare", börjar Söderholm, och detta ska tydligen vara ett argument för höjda fartgränser. Söderholm har hittat en amerikansk "trafikforskare", Stephen Boyles, som i en debattartikel på sitt universitets nyhetssida vädrar sina åsikter om fartgränser. Boyles, som är filosofie doktor och har forskat om nätverk och stokastiska processer, anser att låga fartgränser ändå inte respekteras, och att de skapar ökade hastighetsskillnader som i sig är farliga. Men så vitt jag kan se är hans tyckande om just fartgränser och trafiksäkerhet inte förankrat vare sig i hans egen eller någon annan forskning. "När vissa bilförare kör för fort och andra håller sig inom hastighetsgränsen uppstår en hastighetsskillnad som kan bli riktigt farlig", citerar Söderholm.
Jo. Och det är för fan den som kör långsammare som orsakar skillnaden.
"Högre fart räddar liv" är rubriken i Teknikens värld, och artikeln börjar med att nämna att statistik från VTI motsäger denna rubrik (något man även kan läsa om i DN). Även här visar det sig att det är doktor Stephen Boyles från Austin, Texas, som genom sin upplevelse av hur fint det flyter på motorvägen mellan Seguin och Mustang Ridge har vederlagt det mesta av europeisk trafiksäkerhetsforskning.
Eftersom jag själv liksom Boyles är utbildad forskare, googlade jag "korrelation mellan hastighet och olyckor" och hittade då rapporten Hastighetsspridning och trafiksäkerhet publicerad av VTI 2012, där man bland annat kan läsa att "Resultaten från litteraturgenomgången visar att det finns en förhöjd risk att bli inblandad i en olycka ju högre hastigheten är, men däremot finns det generellt ingen förhöjd risk om du kör långsammare än medelhastigheten".
Även om författarna noga poängterar att man har för lite data för vissa generella slutsatser, indikerar diagrammen i rapporten att sänkta hastighetsgränser ger såväl lägre hastigheter som lägre skillnader i hastighet, samt att andelen fortkörare är ett trubbigt mått på hur väl sänkta hastighetsgränser efterlevs, eftersom många av fortkörarna ligger endast några få km/h över tillåten gräns.
Vidare framgår det att fartkameror är ett mycket effektivt sätt att minska de så farliga hastighetsskillnaderna.
Det var en rapport. Den som vill får leta vidare. Själv ser jag fram emot artiklar i Auto Motor & Sport och Teknikens Värld om de förbluffande forskningsresultaten från VTI, och hur häftigt det är med fartkameror.
Dumt, kan man tycka. Trafikidéer på ungefär samma vetenskapliga nivå presenteras nu i artiklar av Erik Söderholm på Auto Motor & Sport, och Mattias Rabe på Teknikens Värld.
"När bilförarna inte tvingas bromsa in för långsamma bilister blir vägarna betydligt säkrare", börjar Söderholm, och detta ska tydligen vara ett argument för höjda fartgränser. Söderholm har hittat en amerikansk "trafikforskare", Stephen Boyles, som i en debattartikel på sitt universitets nyhetssida vädrar sina åsikter om fartgränser. Boyles, som är filosofie doktor och har forskat om nätverk och stokastiska processer, anser att låga fartgränser ändå inte respekteras, och att de skapar ökade hastighetsskillnader som i sig är farliga. Men så vitt jag kan se är hans tyckande om just fartgränser och trafiksäkerhet inte förankrat vare sig i hans egen eller någon annan forskning. "När vissa bilförare kör för fort och andra håller sig inom hastighetsgränsen uppstår en hastighetsskillnad som kan bli riktigt farlig", citerar Söderholm.
Jo. Och det är för fan den som kör långsammare som orsakar skillnaden.
"Högre fart räddar liv" är rubriken i Teknikens värld, och artikeln börjar med att nämna att statistik från VTI motsäger denna rubrik (något man även kan läsa om i DN). Även här visar det sig att det är doktor Stephen Boyles från Austin, Texas, som genom sin upplevelse av hur fint det flyter på motorvägen mellan Seguin och Mustang Ridge har vederlagt det mesta av europeisk trafiksäkerhetsforskning.
Eftersom jag själv liksom Boyles är utbildad forskare, googlade jag "korrelation mellan hastighet och olyckor" och hittade då rapporten Hastighetsspridning och trafiksäkerhet publicerad av VTI 2012, där man bland annat kan läsa att "Resultaten från litteraturgenomgången visar att det finns en förhöjd risk att bli inblandad i en olycka ju högre hastigheten är, men däremot finns det generellt ingen förhöjd risk om du kör långsammare än medelhastigheten".
Även om författarna noga poängterar att man har för lite data för vissa generella slutsatser, indikerar diagrammen i rapporten att sänkta hastighetsgränser ger såväl lägre hastigheter som lägre skillnader i hastighet, samt att andelen fortkörare är ett trubbigt mått på hur väl sänkta hastighetsgränser efterlevs, eftersom många av fortkörarna ligger endast några få km/h över tillåten gräns.
Vidare framgår det att fartkameror är ett mycket effektivt sätt att minska de så farliga hastighetsskillnaderna.
Det var en rapport. Den som vill får leta vidare. Själv ser jag fram emot artiklar i Auto Motor & Sport och Teknikens Värld om de förbluffande forskningsresultaten från VTI, och hur häftigt det är med fartkameror.
Thursday, July 2, 2015
Numbers that go on forever, and numbers that don’t
The number $\pi$ is not only the ratio of the circumference to the diameter in any circle, but it also pops up in probability, number theory, combinatorics and so on. For instance, look at the talk Why Pi? by Don Knuth. By the way, around 11 minutes into the talk, Knuth gets nervous. Yes I was watching in the middle of the night, and laughing.
It seems though that what this number is most famous for is the fact that it never ends. It just goes on forever. Vi Hart can explain what this means. It’s not that it’s infinite, because it’s actually smaller than 4. But still...
We mathematicians are amazed. Not because pi has infinitely many digits, but because this seems to be such a big deal. Well, proving it is a big deal. But what it shows is that in this respect, pi is like most other numbers.
Pi is like a prince or princess of mathematics. It lives an absolutely weird life, yet what people seem to find most interesting about it is that it gets married, has children, and makes gingerbread at christmas.
By the way, pi is also wrong. Well, not wrong really. But it's wrong that this number should receive the status of being $\pi$, when the number $2\pi$, also known as $\tau$ (tau), is a much better candidate for the title of “circle constant”.
Anyway, it's more of a surprise when numbers turn out not to go on forever. A few years ago, I found out that if one chooses uniformly (that is, with equal probability for all possibilities) a spanning tree on 100 vertices and finds the maximum size matching (set of edges of which no two share a vertex), then the average number of edges is exactly 43.17816555453436639467528498753359880784701479940567711130128858955366138180570639880704988422109251181925421456900270651964884431350257469764694221172317371392058217163932358010086914490396623399.
Ok, this isn’t so surprising to someone who knows a bit about combinatorics and graph theory. According to a famous theorem of Cayley, the number of spanning trees in a complete graph on $n$ vertices is $n^{n-2}$. For $n=100$ this is $100^{98} = 10^{196}$. If we take an average of integers over this many possibilities, we get a rational number with $10^{196}$ in the denominator. Writing this number with decimals just means that we take the numerator and put a decimal point 196 steps from the end. The real surprise was that the numerator could be computed.
Now I have found another number that ends, and that does so for less obvious reasons. Suppose we take again a graph, but this time a complete bipartite graph on 10 by 10 vertices, and put independently a mean 1 exponential weight on each of the 100 edges. Then we look for the minimum total weight of a set of edges that covers all vertices, meaning that each vertex is incident to at least one of them. Then the expected value of the minimum weight is 1.4268901758375519. And there the number ends.
It seems though that what this number is most famous for is the fact that it never ends. It just goes on forever. Vi Hart can explain what this means. It’s not that it’s infinite, because it’s actually smaller than 4. But still...
We mathematicians are amazed. Not because pi has infinitely many digits, but because this seems to be such a big deal. Well, proving it is a big deal. But what it shows is that in this respect, pi is like most other numbers.
Pi is like a prince or princess of mathematics. It lives an absolutely weird life, yet what people seem to find most interesting about it is that it gets married, has children, and makes gingerbread at christmas.
By the way, pi is also wrong. Well, not wrong really. But it's wrong that this number should receive the status of being $\pi$, when the number $2\pi$, also known as $\tau$ (tau), is a much better candidate for the title of “circle constant”.
Anyway, it's more of a surprise when numbers turn out not to go on forever. A few years ago, I found out that if one chooses uniformly (that is, with equal probability for all possibilities) a spanning tree on 100 vertices and finds the maximum size matching (set of edges of which no two share a vertex), then the average number of edges is exactly 43.17816555453436639467528498753359880784701479940567711130128858955366138180570639880704988422109251181925421456900270651964884431350257469764694221172317371392058217163932358010086914490396623399.
Ok, this isn’t so surprising to someone who knows a bit about combinatorics and graph theory. According to a famous theorem of Cayley, the number of spanning trees in a complete graph on $n$ vertices is $n^{n-2}$. For $n=100$ this is $100^{98} = 10^{196}$. If we take an average of integers over this many possibilities, we get a rational number with $10^{196}$ in the denominator. Writing this number with decimals just means that we take the numerator and put a decimal point 196 steps from the end. The real surprise was that the numerator could be computed.
Now I have found another number that ends, and that does so for less obvious reasons. Suppose we take again a graph, but this time a complete bipartite graph on 10 by 10 vertices, and put independently a mean 1 exponential weight on each of the 100 edges. Then we look for the minimum total weight of a set of edges that covers all vertices, meaning that each vertex is incident to at least one of them. Then the expected value of the minimum weight is 1.4268901758375519. And there the number ends.
Saturday, April 18, 2015
Vetenskapsfestivalen!
Den som befinner sig i Göteborg i morgon, dvs söndag 19 april, rekommenderas att bege sig till stadsbiblioteket vid Götaplatsen, trappscenen, och se föredragsserien Liv, död...och datorer: Alan Turing och dagens datavetenskap som ingår i Vetenskapsfestivalen. Det drar igång klockan 11 och håller på till 17.55.
Jag kommer att medverka med föredraget Liv i datorn - kan vi simulera livets uppkomst? klockan 16.50. Ett problem är dock hur jag ska hinna få i mig något slags lunch eller eftermiddagsfika för att själv kunna vara i form 6 timmar efter starten, jag vill ju egentligen inte missa ett enda av föredragen!
Efter att jag skickade in titeln för mitt föredrag har jag lärt mig om Hinchliffes princip, som säger att när en titel avslutas med ett frågetecken, är svaret nej. Hinchliffes princip har dock motbevisats av artikeln Is Hinchliffe's rule true? av Boris Peon.
Jag kommer att medverka med föredraget Liv i datorn - kan vi simulera livets uppkomst? klockan 16.50. Ett problem är dock hur jag ska hinna få i mig något slags lunch eller eftermiddagsfika för att själv kunna vara i form 6 timmar efter starten, jag vill ju egentligen inte missa ett enda av föredragen!
Efter att jag skickade in titeln för mitt föredrag har jag lärt mig om Hinchliffes princip, som säger att när en titel avslutas med ett frågetecken, är svaret nej. Hinchliffes princip har dock motbevisats av artikeln Is Hinchliffe's rule true? av Boris Peon.
Saturday, December 20, 2014
Rundschack, primtal, och månfärder
Rundschack är en schackform som jag fick idén till här om dagen (nytt eller finns redan?). Man går omkring mellan ett antal bräden och gör ett drag här och ett drag där enligt ett visst schema. Funkar särskilt bra om man är 3, 5, eller 7 spelare (eller 11 eller 13), och ingen behöver ha frirond! Låt oss som exempel ta 7 spelare som får “startnummer” A, B, C, D, E, F, G. Vi ställer upp 7 bräden som vi numrerar 1 till 7. Till att börja med får A ställa sig vid bräde 1, B vid bräde 2 osv. Varje spelare gör drag 1 för vit vid sitt bräde och flyttar därefter 1 steg upp i brädnummer, så att A hamnar vid bräde 2, B vid bräde 3 osv. G som stod vid bräde 7 går till bräde 1. Vi kan tänka oss att brädena står i en cirkel och att alla tar ett steg medsols.
Nu gör var och en drag 1 för svart på sitt nya bräde. Sedan tar de ett steg till medsols, och gör drag 2 för vit. Sedan ytterligare ett steg medsols och gör drag 2 för svart. Då kanske ni tror att ni har förstått systemet, men så här kan det inte fortsätta! Då skulle man få svart när man är tillbaka där man startade, och alla skulle spela omväxlande vit och svart på alla bräden. Men ska det bli spännande vill man ju inte spela mot sig själv!
Så efter drag 2 för svart går man 3 steg medsols. Nu har spelare A hunnit upp till bräde 7, B står vid bräde 1, osv. Nu gör man drag 3 för vit, sedan är det 2 steg motsols, drag 3 för svart, och sedan 3 steg medsols. I det läget har det gjorts 3 drag med vit och 3 drag med svart på varje bräde, och alla spelare är tillbaka där de började. Nu börjar det om igen, så att drag 4-6 spelas exakt som drag 1-3, och så fortsätter det.
Hela schemat kan memoreras med talserien +1, +1, +1, +3, -2, +3. Varje spelare ska alltså gå så att brädnumret ökar med 1, ökar med 1, ökar med 1, ökar med 3, minskar med 2, och ökar med 3. Och då har man gått ett varv. Brädena står cirkulärt så att 8=1, 9=2 osv. Det finurliga med just den här talserien är att var och en spelar 6 olika partier, vit i 3 och svart i 3, och att man får varje annan spelare som lagkamrat i 2 partier och motståndare i 3 partier. Tittar vi på schemat bräde för bräde, ser det ut så här:
Det här betyder att vid bräde 1 till exempel, spelar A, F, och B i det vita laget, och G, E, och D i det svarta. Spelare C har “frirond” och hoppar över det här brädet. De som spelar kommer att göra vart tredje drag med sin färg. A gör drag 1, 4, 7, osv med vit, F gör drag 2, 5, 8, och B gör drag 3, 6, 9.
När alla partierna är färdigspelade, kan man summera poängen för var och en och kora kvällens mästare i rundschack!
Det får nog rekommenderas att man skriver protokoll vid varje bräde, och att spelarna signerar sina drag med någon initial. Då kan man lätt se vems tur det är, så att det blir rätt. När man ska göra ett drag, kollar man att man själv spelade för 3 drag sedan. Man ser också vad som har hänt sedan sist, så att man till exempel vet om man får slå en passant. Det är nog också enklast om alla går på samma sida av brädena (egentligen skulle de behöva stå på något slags Möbiusband), även om det kan kännas lite ovant att stå från vits sida och spela svart.
Slutligen är frågan hur man gör med betänketiden. Ska man ha en maximal betänketid per drag, eller ska det stå en klocka vid varje bräde? Mitt förslag, utan att ha testat detta i praktiken, är både och. Det får stå en klocka vid varje bräde, och den ska vara av gammaldags typ så att man lätt kan stanna båda klockorna. Om nästa spelare redan väntar, trycker man över kläppen som vanligt när man har gjort sitt drag, och annars sätter man den i neutralt läge, och nästa spelare får slå igång sin egen betänketid när de kommer till brädet. För att det ska flyta på kan man också ha en maxtid per drag. Någon får då hålla reda på tiden och ryta till när det är dags att bestämma sig.
Det kan bli svårt att överblicka vad som händer i varje parti under spelets gång. Men har man protokoll, kan man gå igenom ett par partier på demobräde efteråt och skratta åt varandras tabbar och vilka knäppa partier man har åstadkommit tillsammans!
Det är lätt att konstruera motsvarande schema för 5 spelare med talföljden +1, +2, -1, -2, vilket ger
För den talteoretiskt intresserade: Om antalet spelare är ett primtal, kan man konstruera schemat genom att låta den spelare som inte spelar på högsta bordet ha vit på bräden med "kvadratiska" nummer (se nedan) och svart på bräden med "icke-kvadratiska" nummer. Sedan bestämmer man hur den spelaren ska röra sig så att det blir vitt vartannat drag och svart vartannat, och så korta steg som möjligt. Hela schemat följer sedan genom att man roterar den spelarens schema.
Kvadratiska tal betyder här tal som är rest av en kvadrat vid division med primtalet i fråga. För 7 spelare är 1, 2, och 4 kvadratiska: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, och 2 är resten av $3^2$ vid division med 7. Talen 3, 5, och 6 är icke-kvadratiska. Nu ska man gå runt och vara varannan gång på 1, 2, 4 och varannan gång på 3, 5, 6. Om man börjar på 2 räcker det med ett steg de tre första förflyttningarna, och det var så schemat konstruerades. För 11 spelare är 1, 3 (=25), 4, 5 (=16), och 9 kvadratiska, och schemat blir (till exempel) +1, +1, +3, -2, +3, -2, +3, +1, +1, +2.
När antalet spelare inte är ett primtal blir det lite mer komplicerat, och man får antagligen ha fler bräden än spelare. Om antalet spelare är jämnt, kan man också tänka sig att man går ett steg hela tiden. Då blir det samma indelning i lag på varje bräde, och alltså en match mellan två lag.
Om man inte gillar det här med att någon lagkamrat ska komma och förstöra ens planer, kan man bryta upp schemat i ronder där man spelar två vanliga partier samtidigt (relaterat: tydligen finns det något som heter baskiskt schack, enda sporten vars utövande kräver kontorsstolar med hjul?). Då blir det bara ett sätt att köra en turnering på udda antal spelare utan frironder. Man sätter sig på något sätt i en ring där man spelar mot sina två grannar. För 7 spelare blir det 3 ronder:
Alltså A har vit mot B som samtidigt har vit mot C osv. Till rond 2 byter man plats så att man hamnar granne med dem vars "startnummer" ligger 2 från ens eget:
Och i rond 3 möter man dem med startnummer 3 ifrån ens eget.
Så vad har detta med månfärder att göra? Jo, vi är några som får gåshud av att se den här bokstavsföljden, och för vårt inre hör Frank Sinatra och Fly Me To The Moon. Men bara för att man har en stark känsla för grundtonen är man ju inte basist!
Nu gör var och en drag 1 för svart på sitt nya bräde. Sedan tar de ett steg till medsols, och gör drag 2 för vit. Sedan ytterligare ett steg medsols och gör drag 2 för svart. Då kanske ni tror att ni har förstått systemet, men så här kan det inte fortsätta! Då skulle man få svart när man är tillbaka där man startade, och alla skulle spela omväxlande vit och svart på alla bräden. Men ska det bli spännande vill man ju inte spela mot sig själv!
Så efter drag 2 för svart går man 3 steg medsols. Nu har spelare A hunnit upp till bräde 7, B står vid bräde 1, osv. Nu gör man drag 3 för vit, sedan är det 2 steg motsols, drag 3 för svart, och sedan 3 steg medsols. I det läget har det gjorts 3 drag med vit och 3 drag med svart på varje bräde, och alla spelare är tillbaka där de började. Nu börjar det om igen, så att drag 4-6 spelas exakt som drag 1-3, och så fortsätter det.
Hela schemat kan memoreras med talserien +1, +1, +1, +3, -2, +3. Varje spelare ska alltså gå så att brädnumret ökar med 1, ökar med 1, ökar med 1, ökar med 3, minskar med 2, och ökar med 3. Och då har man gått ett varv. Brädena står cirkulärt så att 8=1, 9=2 osv. Det finurliga med just den här talserien är att var och en spelar 6 olika partier, vit i 3 och svart i 3, och att man får varje annan spelare som lagkamrat i 2 partier och motståndare i 3 partier. Tittar vi på schemat bräde för bräde, ser det ut så här:
1. AFB - GED
2. BGC - AFE
3. CAD - BGF
4. DBE - CAG
5. ECF - DBA
6. FDG - ECB
7. GEA - FDC
2. BGC - AFE
3. CAD - BGF
4. DBE - CAG
5. ECF - DBA
6. FDG - ECB
7. GEA - FDC
Det här betyder att vid bräde 1 till exempel, spelar A, F, och B i det vita laget, och G, E, och D i det svarta. Spelare C har “frirond” och hoppar över det här brädet. De som spelar kommer att göra vart tredje drag med sin färg. A gör drag 1, 4, 7, osv med vit, F gör drag 2, 5, 8, och B gör drag 3, 6, 9.
När alla partierna är färdigspelade, kan man summera poängen för var och en och kora kvällens mästare i rundschack!
Det får nog rekommenderas att man skriver protokoll vid varje bräde, och att spelarna signerar sina drag med någon initial. Då kan man lätt se vems tur det är, så att det blir rätt. När man ska göra ett drag, kollar man att man själv spelade för 3 drag sedan. Man ser också vad som har hänt sedan sist, så att man till exempel vet om man får slå en passant. Det är nog också enklast om alla går på samma sida av brädena (egentligen skulle de behöva stå på något slags Möbiusband), även om det kan kännas lite ovant att stå från vits sida och spela svart.
Slutligen är frågan hur man gör med betänketiden. Ska man ha en maximal betänketid per drag, eller ska det stå en klocka vid varje bräde? Mitt förslag, utan att ha testat detta i praktiken, är både och. Det får stå en klocka vid varje bräde, och den ska vara av gammaldags typ så att man lätt kan stanna båda klockorna. Om nästa spelare redan väntar, trycker man över kläppen som vanligt när man har gjort sitt drag, och annars sätter man den i neutralt läge, och nästa spelare får slå igång sin egen betänketid när de kommer till brädet. För att det ska flyta på kan man också ha en maxtid per drag. Någon får då hålla reda på tiden och ryta till när det är dags att bestämma sig.
Det kan bli svårt att överblicka vad som händer i varje parti under spelets gång. Men har man protokoll, kan man gå igenom ett par partier på demobräde efteråt och skratta åt varandras tabbar och vilka knäppa partier man har åstadkommit tillsammans!
Det är lätt att konstruera motsvarande schema för 5 spelare med talföljden +1, +2, -1, -2, vilket ger
1. AC - ED
2. BD - AE
3. CE - BA
4. DA - CB
5. EB - DC
2. BD - AE
3. CE - BA
4. DA - CB
5. EB - DC
För den talteoretiskt intresserade: Om antalet spelare är ett primtal, kan man konstruera schemat genom att låta den spelare som inte spelar på högsta bordet ha vit på bräden med "kvadratiska" nummer (se nedan) och svart på bräden med "icke-kvadratiska" nummer. Sedan bestämmer man hur den spelaren ska röra sig så att det blir vitt vartannat drag och svart vartannat, och så korta steg som möjligt. Hela schemat följer sedan genom att man roterar den spelarens schema.
Kvadratiska tal betyder här tal som är rest av en kvadrat vid division med primtalet i fråga. För 7 spelare är 1, 2, och 4 kvadratiska: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, och 2 är resten av $3^2$ vid division med 7. Talen 3, 5, och 6 är icke-kvadratiska. Nu ska man gå runt och vara varannan gång på 1, 2, 4 och varannan gång på 3, 5, 6. Om man börjar på 2 räcker det med ett steg de tre första förflyttningarna, och det var så schemat konstruerades. För 11 spelare är 1, 3 (=25), 4, 5 (=16), och 9 kvadratiska, och schemat blir (till exempel) +1, +1, +3, -2, +3, -2, +3, +1, +1, +2.
När antalet spelare inte är ett primtal blir det lite mer komplicerat, och man får antagligen ha fler bräden än spelare. Om antalet spelare är jämnt, kan man också tänka sig att man går ett steg hela tiden. Då blir det samma indelning i lag på varje bräde, och alltså en match mellan två lag.
Om man inte gillar det här med att någon lagkamrat ska komma och förstöra ens planer, kan man bryta upp schemat i ronder där man spelar två vanliga partier samtidigt (relaterat: tydligen finns det något som heter baskiskt schack, enda sporten vars utövande kräver kontorsstolar med hjul?). Då blir det bara ett sätt att köra en turnering på udda antal spelare utan frironder. Man sätter sig på något sätt i en ring där man spelar mot sina två grannar. För 7 spelare blir det 3 ronder:
Rond 1: A - B - C - D - E - F - G - A.
Alltså A har vit mot B som samtidigt har vit mot C osv. Till rond 2 byter man plats så att man hamnar granne med dem vars "startnummer" ligger 2 från ens eget:
Rond 2: A - C - E - G - B - D - F - A.
Och i rond 3 möter man dem med startnummer 3 ifrån ens eget.
Rond 3: A - D - G - C - F - B - E - A.
Så vad har detta med månfärder att göra? Jo, vi är några som får gåshud av att se den här bokstavsföljden, och för vårt inre hör Frank Sinatra och Fly Me To The Moon. Men bara för att man har en stark känsla för grundtonen är man ju inte basist!
Wednesday, November 12, 2014
Datorn kommenterar schack-VM
Nu har VM-matchen i schack mellan norrmannen Magnus Carlsen och indiern Viswanathan Anand kommit igång på allvar. Carlsen tog ledningen genom att vinna söndagens parti, men i går eftermiddag lyckades Anand kvittera och ställningen är nu 1.5 - 1.5 efter tre partier (av 12).
Man kan förstås följa partierna live med expertkommentatorer (till exempel via NRK), och det twittras och diskuteras flitigt.
Eftersom schackprogrammen är så starka numera, riktas stor uppmärksamhet mot den löpande utvärderingen av partiställningarna som presenteras av program som Houdini och Stockfish. Datorns siffror dryftas som om de vore mellantider i skidåkning. Carlsen förväntas få åtminstone +0.15 i spelöppningen om han har vit, och i går tändes ett fåfängt hopp om remi när Anand rockerade och Stockfish plötsligt omvärderade ställningen från omkring +1.0 (i Anands favör) till runt +0.6.
Vi är många som retar oss lite på det här, och tycker att det tar bort lite av magin runt VM-matcherna. När en spelare gör ett oväntat drag, är det alltid dåligt. De briljanta kombinationerna har publiken redan sett, och skulle de reproduceras på brädet är det bara vad man förväntar sig.
Samtidigt är det förståeligt att den som ska gälla för expertkommentator vill kunna snegla på datorn, eftersom det annars inte finns en chans att i realtid ge lika relevanta kommentarer.
Det är en kliché bland schackspelare att man inte ska lita på datorernas ställningsvärderingar. Bara för att Stockfish säger -0.28 betyder det inte att svart står bra. Siffrorna ska tas med en nypa salt heter det, och motiveringarna brukar vara:
(a) Datorer är bra på taktik men saknar mänskliga toppspelares förståelse av de mer långsiktliga strategiska aspekterna.
(b) Även om en ställning skulle vara bra för Stockfish, innebär det inte att den är bra för en mänsklig spelare. Kanske är ställningen objektivt vinst för svart, men så full av taktiska blindskär att den i praktiken är fördelaktig för vit när människor spelar.
Stämmer det att mänskliga stormästare fortfarande är bättre än datorn på att bedöma ställningar, eller är det bara önsketänkande?
Förklaring (b) rymmer väl ett uns av sanning, medan (a) egentligen är goddag yxskaft. Som schackprogrammen fungerar, väljer de helt enkelt det drag som får bäst poäng. De siffror Houdini och Stockfish presenterar utgör alltså hela underlaget för vilka drag de skulle välja om de själva spelade. De är så att säga “bara så bra som sin ställningsvärdering” (även om begreppet då måste förstås som att variantanalysen är en del av hur programmet värderar en ställning).
Om siffrorna vore uppåt väggarna fel, borde de leda programmen till dåliga beslut. Men eftersom programmen faktiskt spelar mycket bättre än Carlsen och Anand, är deras sätt att värdera ställningar uppenbarligen effektivt.
Vi kan också se att små skillnader är betydelsefulla. Ibland finns ett helt spektrum av drag från de vassaste, som till exempel bedöms ge en fördel på 0.3, via diverse klåpar- och amatördrag på mellan 0 och 0.25, ner till olika tabbar och bortsättningar som ger motståndaren fördel. Nyanser som värderas till några hundradelar av en bonde är många gånger det enda som skiljer superprogrammen från oss vanliga klubbspelare.
Det ligger nära till hands att dra slutsatsen att datorns siffror ger ett oerhört exakt mått på Carlsens och Anands utsikter i den aktuella ställningen.
Men som alla vet som någon gång har försökt programmera en dator att spela spel (hm, det kanske inte är så många, men ni borde testa, det är kul!), finns en frustrerande brist på korrelation mellan precision i bedömningen av hur bra en ställning är, och å andra sidan resulterande spelstyrka.
För att förstå det här får man tänka på att spelstyrka bara handlar om att jämföra de ställningar som kan nås i ett drag från den aktuella ställningen. Ett program som konsekvent övervärderar eller undervärderar alla ställningar av en viss typ kan därför ändå fatta bra beslut.
Som ett tankeexperiment kan vi föreställa oss ett program som anser att det är till stor fördel för vit om det finns många pjäser kvar på brädet, och omvänt till stor fördel för svart om det finns få pjäser kvar. Om dess sätt att värdera ställningar är bra i övrigt, skulle det ändå kunna spela i världsklass! Pjäserna försvinner ju bara från brädet en i taget, så i varje given ställning är över- eller undervärderingen i stort sett konsekvent. För det mesta väljer programmet därför rätt drag, och gör aldrig några dundertabbar, trots att det vid förfrågan svarar att vit har förkrossande fördel i utgångsställningen, medan svart står överlägset när bara kungarna är kvar.
Stockfish och de andra programmen är skrivna för att göra bra drag, inte korrekta ställningsvärderingar. Även om de senare ligger till grund för de förra, är det på något sätt så att helheten får vara fel, bara detaljerna blir rätt.
Datorns värderingsfunktion är lite som en världsatlas på bokform. I stora drag stämmer det inte. Flyger man från Stockholm till Los Angeles åker man inte över de brittiska öarna, utan över Grönland. Som är stort, men inte som hela Sydamerika.
Men tittar man på ett enskilt land, är den platta kartan fullt användbar. Eftersom alla orter i Spanien ligger fel på ungefär samma sätt i förhållande till resten av europakartan, kan man dra korrekta och användbara slutsatser om hur man tar sig från en spansk ort till en annan (exempelvis Berlin).
På samma sätt kan ett datorprogram göra helt fel bedömning av utsikterna att vinna ett visst slutspel, och ändå spela grymt bra genom att systematiskt göra samma felbedömning i alla ställningar av den typen.
Man skulle kunna tro att det här isolerar schackprogrammens överlägsenhet till att deras taktiska förmåga kompenserar för brister i planering och långsiktligt manövrerande. Men det finns ytterligare en twist!
Att konsekvent följa en plan (eller åtminstone spela som om man hade en) och inte bara flytta pjäserna fram och tillbaka, verkar inte heller hänga på korrekt ställningsvärdering! Det finns klara skillnader mellan människors och datorers sätt att spela schack, men i just det här avseendet är vi ganska lika. Även vi kan många gånger ha lättare att identifiera en plan och välja rätt drag, än att bedöma våra utsikter att vinna. När slutspelet närmar sig, vet vi att kungen ska centraliseras. Vi vet att den står bättre på f2 än på g1, och ännu bättre på e3, men skulle vi försöka bedöma våra utsikter, kanske vi är helt fel ute i alla tre ställningarna. Precis som Stockfish. Och ändå spelar vi som om vi begriper vad vi gör, och går mot centrum med kungen!
Man kan förstås följa partierna live med expertkommentatorer (till exempel via NRK), och det twittras och diskuteras flitigt.
Eftersom schackprogrammen är så starka numera, riktas stor uppmärksamhet mot den löpande utvärderingen av partiställningarna som presenteras av program som Houdini och Stockfish. Datorns siffror dryftas som om de vore mellantider i skidåkning. Carlsen förväntas få åtminstone +0.15 i spelöppningen om han har vit, och i går tändes ett fåfängt hopp om remi när Anand rockerade och Stockfish plötsligt omvärderade ställningen från omkring +1.0 (i Anands favör) till runt +0.6.
Vi är många som retar oss lite på det här, och tycker att det tar bort lite av magin runt VM-matcherna. När en spelare gör ett oväntat drag, är det alltid dåligt. De briljanta kombinationerna har publiken redan sett, och skulle de reproduceras på brädet är det bara vad man förväntar sig.
Samtidigt är det förståeligt att den som ska gälla för expertkommentator vill kunna snegla på datorn, eftersom det annars inte finns en chans att i realtid ge lika relevanta kommentarer.
Det är en kliché bland schackspelare att man inte ska lita på datorernas ställningsvärderingar. Bara för att Stockfish säger -0.28 betyder det inte att svart står bra. Siffrorna ska tas med en nypa salt heter det, och motiveringarna brukar vara:
(a) Datorer är bra på taktik men saknar mänskliga toppspelares förståelse av de mer långsiktliga strategiska aspekterna.
(b) Även om en ställning skulle vara bra för Stockfish, innebär det inte att den är bra för en mänsklig spelare. Kanske är ställningen objektivt vinst för svart, men så full av taktiska blindskär att den i praktiken är fördelaktig för vit när människor spelar.
Stämmer det att mänskliga stormästare fortfarande är bättre än datorn på att bedöma ställningar, eller är det bara önsketänkande?
Förklaring (b) rymmer väl ett uns av sanning, medan (a) egentligen är goddag yxskaft. Som schackprogrammen fungerar, väljer de helt enkelt det drag som får bäst poäng. De siffror Houdini och Stockfish presenterar utgör alltså hela underlaget för vilka drag de skulle välja om de själva spelade. De är så att säga “bara så bra som sin ställningsvärdering” (även om begreppet då måste förstås som att variantanalysen är en del av hur programmet värderar en ställning).
Om siffrorna vore uppåt väggarna fel, borde de leda programmen till dåliga beslut. Men eftersom programmen faktiskt spelar mycket bättre än Carlsen och Anand, är deras sätt att värdera ställningar uppenbarligen effektivt.
Vi kan också se att små skillnader är betydelsefulla. Ibland finns ett helt spektrum av drag från de vassaste, som till exempel bedöms ge en fördel på 0.3, via diverse klåpar- och amatördrag på mellan 0 och 0.25, ner till olika tabbar och bortsättningar som ger motståndaren fördel. Nyanser som värderas till några hundradelar av en bonde är många gånger det enda som skiljer superprogrammen från oss vanliga klubbspelare.
Det ligger nära till hands att dra slutsatsen att datorns siffror ger ett oerhört exakt mått på Carlsens och Anands utsikter i den aktuella ställningen.
Men som alla vet som någon gång har försökt programmera en dator att spela spel (hm, det kanske inte är så många, men ni borde testa, det är kul!), finns en frustrerande brist på korrelation mellan precision i bedömningen av hur bra en ställning är, och å andra sidan resulterande spelstyrka.
För att förstå det här får man tänka på att spelstyrka bara handlar om att jämföra de ställningar som kan nås i ett drag från den aktuella ställningen. Ett program som konsekvent övervärderar eller undervärderar alla ställningar av en viss typ kan därför ändå fatta bra beslut.
Som ett tankeexperiment kan vi föreställa oss ett program som anser att det är till stor fördel för vit om det finns många pjäser kvar på brädet, och omvänt till stor fördel för svart om det finns få pjäser kvar. Om dess sätt att värdera ställningar är bra i övrigt, skulle det ändå kunna spela i världsklass! Pjäserna försvinner ju bara från brädet en i taget, så i varje given ställning är över- eller undervärderingen i stort sett konsekvent. För det mesta väljer programmet därför rätt drag, och gör aldrig några dundertabbar, trots att det vid förfrågan svarar att vit har förkrossande fördel i utgångsställningen, medan svart står överlägset när bara kungarna är kvar.
Stockfish och de andra programmen är skrivna för att göra bra drag, inte korrekta ställningsvärderingar. Även om de senare ligger till grund för de förra, är det på något sätt så att helheten får vara fel, bara detaljerna blir rätt.
Datorns värderingsfunktion är lite som en världsatlas på bokform. I stora drag stämmer det inte. Flyger man från Stockholm till Los Angeles åker man inte över de brittiska öarna, utan över Grönland. Som är stort, men inte som hela Sydamerika.
Men tittar man på ett enskilt land, är den platta kartan fullt användbar. Eftersom alla orter i Spanien ligger fel på ungefär samma sätt i förhållande till resten av europakartan, kan man dra korrekta och användbara slutsatser om hur man tar sig från en spansk ort till en annan (exempelvis Berlin).
På samma sätt kan ett datorprogram göra helt fel bedömning av utsikterna att vinna ett visst slutspel, och ändå spela grymt bra genom att systematiskt göra samma felbedömning i alla ställningar av den typen.
Man skulle kunna tro att det här isolerar schackprogrammens överlägsenhet till att deras taktiska förmåga kompenserar för brister i planering och långsiktligt manövrerande. Men det finns ytterligare en twist!
Att konsekvent följa en plan (eller åtminstone spela som om man hade en) och inte bara flytta pjäserna fram och tillbaka, verkar inte heller hänga på korrekt ställningsvärdering! Det finns klara skillnader mellan människors och datorers sätt att spela schack, men i just det här avseendet är vi ganska lika. Även vi kan många gånger ha lättare att identifiera en plan och välja rätt drag, än att bedöma våra utsikter att vinna. När slutspelet närmar sig, vet vi att kungen ska centraliseras. Vi vet att den står bättre på f2 än på g1, och ännu bättre på e3, men skulle vi försöka bedöma våra utsikter, kanske vi är helt fel ute i alla tre ställningarna. Precis som Stockfish. Och ändå spelar vi som om vi begriper vad vi gör, och går mot centrum med kungen!
Subscribe to:
Posts (Atom)