Teorem kontra miniräknare

Nu är det dags för tentarättning igen, och vad passar då bättre än att blogga lite för att skjuta upp själva rättandet? Jo en kopp kaffe förstås. Nåja, hur som helst... Jag kan inte låta bli att fundera lite kring studenternas frågor inför tentan.

Två vanliga frågor är "Behöver vi kunna satsen X?" och "Får vi ha miniräknare?".

Den senare har jag ett enkelt svar på numera, jag har nämligen bestämt mig för att inte tillåta miniräknare. Inte för att jag egentligen har något emot sådana, utan för att det blir för rörigt att skilja mellan godkända och otillåtna miniräknare. En del av miniräknarna kan nämligen lite för mycket, till exempel invertera matriser, lösa ekvationssystem, minsta kvadratanpassning mm. Det finns en grupp av officiellt "Chalmersgodkända" miniräknare, men de studenter som redan har en gammal miniräknare börjar förstås då undra om den är godkänd, och vad de ska göra om den inte är det. Skaffa en som är godkänd fastän jag säger att det inte behövs? Eller köra utan. Men det är väl rimligt att alla studenter tenterar på samma villkor. Så nej, inga miniräknare.

Den förstnämnda frågan har egentligen ett lika enkelt svar. Nej, ni behöver inte kunna några satser. Ni får lösa tentauppgifterna hur ni vill. Jag antar att anledningen till frågan är att man undrar om det blir någon tentauppgift av typen "Formulera och bevisa satsen X". Men det blir det inte, åtminstone inte när jag konstruerar tentan. Skönt, verkar många tänka, då slipper vi plugga in spektralsatsen.

Men det är en ganska märklig fråga.

Jag tänker på hur ovanliga två liknande frågor är. Det är hittills aldrig någon som har undrat om man måste använda miniräknare, alltså som "Jag gillar att räkna för hand, är det okej om jag gör det i stället för att använda miniräknaren?" (det händer förstås att studenter undrar om det blir några uppgifter där miniräknare behövs, men det är en annan sak). Och det kan man ju förstå. Att miniräknare är tillåten innebär självklart inte att man måste använda den. Miniräknaren är ju ett hjälpmedel.

En annan ytterst sällsynt fråga är "Får vi kunna satsen X på tentan"? Jäsiken om man inte skulle ta och förbjuda kurslitteraturen. Så kanske den blev mer spännande.

Och sedan kommer tentan, med frågor som till exempel "Bestäm den principala (alltså minsta icke-negativa) resten av $5^{36}$ modulo 37".

Antingen räknar vi på:
$5^2 = 25 \equiv -12$, $5^4 \equiv (-12)^2 = 144 \equiv -4$, $5^8 \equiv (-4)^2=16$, $5^{16} \equiv 16^2 =256 \equiv -3$, $5^{32} \equiv (-3)^2 = 9$, $5^{36} = 5^{32} \cdot 5^4 \equiv 9 \cdot (-4) =-36 \equiv 1$.

Eller så noterar vi att 37 är ett primtal, och hänvisar till Fermats sats.

Och i linjäralgebran kanske man ska bestämma alla egenvärden och egenvektorer till matrisen \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}.\] Enkelt, vi bara räknar och räknar och räknar tills vi får fram en egenvektor. Sen gör vi om alltihop och räknar och räknar och räknar tills vi får fram den andra. 

Eller så plockar vi fram den andra vektorn med spektralsatsen, matrisen är ju symmetrisk (och ännu mindre kan vi räkna om vi dessutom spelar lite med den icketriviala automorfin på $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, men då är vi redan lite off-topic).

Det jag egentligen funderar över är att många av studenterna verkar försöka hitta strategier där de kan läsa in så lite som möjligt av materialet och ändå klara tentauppgifterna. Det finns en förkärlek för metoder som alltid fungerar, och där man alltid gör på samma sätt. Kunskaper om genvägar (när man exempelvis stöter på en symmetrisk matris) betraktas som en onödig börda.

Jag önskar ofta att studenterna skulle tänka på kursmaterialet (inklusive satser och bevis!) på samma sätt som de tänker på miniräknaren. Som något som gör det lättare att räkna, förstå, och klara tentan, inte svårare.

Jag funderar även på förhållandet mellan "högre" och "lägre" former av förståelse, och hur vi examinerar. Den traditionella mattetentan har väl ett, skulle jag påstå, oförtjänt dåligt rykte av att bara kräva "mekanisk räkning". Men då tycker jag det är bättre att göra en uppgift som kan lösas med råräkning, och där svaret ger en hint om en allmän sats, än att försöka examinera på en "högre" nivå med direkta frågor om denna sats. 
 
Jag får fundera vidare. Tillbaka till tentarättningen. Eller om man skulle ta en kopp kaffe först.