Sunday, January 16, 2022

Sagan om noll upphöjt till noll

I begynnelsen skapades heltalen, polynomen, och de övriga algebraiska strukturerna. På den tiden kunde man bara upphöja till ickenegativa heltal. Oavsett talsystem definierades potenserna rekursivt genom att $x^0 = 1$ och $x^{n+1}=x^n\cdot x$. Detta gällde för alla $x$ och i alla ringar, så till exempel var en nollmatris upphöjt till noll lika med motsvarande enhetsmatris. Detta var en del av matematikens fundament.

Långt senare kom gränsvärden, logaritmer, och andra moderniteter. Finare personer vande sig vid att de kunde bli upphöjda till bråk, irrationella tal, och rentav till komplexa tal. Det blev bekvämt att betrakta $x^y$ som $\exp(y\log(x))$, eftersom det då fanns kontinuerlig autostrada vart man än skulle. Samtidigt ledde detta till att upphöjning blev de positiva reella talens privilegium: För att kunna upphöjas, behövde man ha en logaritm. 

Detta var en regel som uteslöt alla utom en väldigt liten elit. Om den hade upprätthållits, hade matematiken brakat samman. Bland dem som uteslöts fanns till exempel talet $-1$, som upphöjdes i varenda alternerande summa. Men detta lät man passera. $(-1)^2$ fick fortsätta att vara lika med 1 enligt den gamla definitionen, fastän det var oklart vad det hade blivit om man i stället hade upphöjt till 1,99 eller 2,01. Ibland fick $-1$ ett tillfälligt log-pass med nummer $\pi\cdot i$, men alla visste att det bröt mot logaritmlagen, som krävde att $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$. Man fortsatte att se mellan fingrarna och släppa in logaritmlösa arbetare i fabrikerna eftersom det var lönsamt. 

Men en dag hade samhällsbygget kommit så långt att även de allra minsta positiva reella talen hade anslutits till det kontinuerliga vägnätet och kunde bli upphöjda till varandra. Det skulle egentligen inte ha varit något problem, bara de hade kört lite försiktigt kring nollan. Men lagstiftningen kring analytisk exponentiering krävde kontinuitet på hela definitionsmängden, och myndigheterna slog fast att nollan låg för nära motorvägen. "Jag bodde här innan ni var födda", sa nollan, som hade rykte om sig att vara ett besvärligt gammalt original. "Det är ni som är för nära". "Nog kan småbarnen springa runt här, bara de inte har logaritmerna med sig". Till slut lät man nollan vara kvar, men $0^0$ dömdes ut som en olaglig operation. 

Dagen efter rådde kaos i fabrikerna. Taylorserier här och geometriska summor där, deriveringsregler och genererande funktioner, allt stannade med varningar om att odefinierade uttryck hade påträffats. Man satte in ettor och numrerade om summor, men varje gång man hade åtgärdat ett nödstopp, dök nästa upp.

Till slut mumlades det allt högre: "Om de bara hade tillåtit gammaldags exponentiering hade det gått bra". "Det är väl de som kör i full fart precis bredvid nollan som ska ta det lite lugnt". "Är det inte konstigt nuförtiden, att det går att upphöja 2 till $i$, men inte $i$ till 2 om man följer reglerna?". Myndigheterna kom till slut fram till att det "ofta är användbart" att låta $0^0$ vara 1, och gav dispens för detta. 

Vissa menar att nollan inte har fått ordentlig upprättelse, och att man bör se till att skydda även de andra urfolkens rätt till traditionell exponentiering. Andra tycker att nollan får skylla sig själv som ständigt kräver specialbehandling. "Ska man dela med andra, måste man väl kunna dela med sig själv". "Den där nollvektorn sätter sig på tvären mot alla, och ska alltid ha ett eget rum". "Varenda gång vi ställer oss i en polynomring är det en som inte ska ha någon grad, gissa vem det är". 

Diskussionen pågår än idag.