Kombinationsövning och sexism (damgambit del 2)

Nu är det dags för publicering av ännu ett gammalt utkast, som delvis handlar om den videoföreläsning av Tatev Abrahamyan som jag nämnde i en tidigare bloggpost.

Som jag sa då var det sedermera avstängda kommentarsfältet fullt av sexistiskt trams om hur omöjligt det är att fokusera på schack när man ser henne. För den som vill se vad jag pratar om är det bara att googla till exempel Irina Krush, en annan världsstjärna.  

Någon gång runt 2015 satt i alla fall jag och de andra gubbarna på restaurangen tillika schackklubben Solrosen och surrade med någon efteranalys på brädet, som så många gånger annars. Jag tyckte mig se en fantastisk kombination, men det var inte bara det att partiet faktiskt hade tagit helt andra vändningar, utan jag kunde inte ens hitta en variant där kombinationen både hade fungerat och varit nödvändig. 

Men jag gick hem och kokade ihop en ställning där min idé hade kunnat avgöra. Utan dator hade jag inte fått till det, men numera kan man ju sitta med en gratis app och flytta omkring pjäserna medan datorn analyserar.

Jag gissar att den här kombinationsövningen är ganska svår för de flesta, men det finns ju de som har skarpare schackblick än jag. Jag hade inte löst den på tusen år om jag inte hade kokat ihop den själv. Vit drar och vinner.

Den som vill får gärna försöka lösa den själv och berätta hur det gick, men pausa i så fall här, för nu kommer lösningen enligt mig och appen Smallfish. Därefter mer om Abrahamyans videoföreläsning. 

Svart har fyra bönder för pjäsen, så backar man med löparen har svart inga problem. Och 1. gxh6 fallerar på grund av 1. - Qh4+. Men vit kan avlänka svarts dam med 1. Ra7!!

På 1. - Qxa7 följer 2. gxh6 g6 3. Rxg6+ Kh8 4. Rg7 (hotar 5 Rh7+!) Rg8 5. Qg5 Qa2+ 6. Kg1! och vit kommer undan schackarna. Till exempel 6. - Qa1+ 7. Bf1 Qa3 8. Kh1! Vits plan är nu att slå på g8 medan damen står på g5 för att hindra svart att slå tillbaka med kungen. Därefter kommer damschack på f6 och manövern Bf1-h3-f5. Men då måste vits kung undan från g-linjen och det måste ske i drag 8. Direkt 8. Qf6 går inte pga 8. - Qf8! 

Efter 8. Kh1 följer t ex 8. - Qf8 9. Rxg8+ Qxg8 10. Qf6+ Kh7 11. Bh3 och löparen kommer till f5. Eller 8. - Qa1 9. Qf6. 

Men "huvudvarianten" är att svart inte slår på a7 i drag 1 utan spelar 1. - Qd6. Då följer 2. g6! Nu kan svart inte gärna tillåta 3. Bxf7 då kungen hamnar illa och vit ger sig på h6. Här verkar det inte vara "kritiskt" utan vit har flera möjligheter. Men det finns några roliga varianter, till exempel 2. - Kh8 3. Bxf7 Qf6 4. Qc1 d3 5. Qd2 Qf4 6. Qxf4 exf4 7. Rh3 Rd6 8. e5 d2 9. exd6 d1=Q 10. Rxh6+! gxh6 11. g7+ Kh7! 12. g8=Q+! Rxg8 13. Bh5+ osv.

Så svart får istället slå löparen: 2. - bxc4 3. gxf7+ Kh8. 

Nu kunde man tro att nästa drag är 4. Rg6 för att få bort svarts dam. Men då följer 4. - Qb4! varefter damen kommer runt och kan hålla fältet g5 från d2, till exempel 5. Rxg7 Qd2+ 6. Kh1 h5!! varefter vit knappast kan hoppas på något bättre än remi, till exempel 7. Rg5 Qe2 8. Rg2 Qxe4 9. Qf1 Qh4+ 10. Rh2 Qe4+ osv. 

Vad som är så märkvärdigt med svarts bondedrag till h5 kommer att framgå av den rätta lösningen, som är att vit istället slår på g7 direkt utan att stanna till på g6: 4. Rxg7! Nu är det naturliga försvarsdraget 4. - Qf6 och man kan tro att vits angrepp ebbar ut. Men det finns en spektakulär forcerad matt:

5. Rh7+! Kxh7 6. Qg8+! Rxg8 7. f8=N+! Kh8 8. Rh7#.

Om svart hade hunnit flytta bonden till h5 hade denna mattkombination inte fungerat då kungen hade kunnat smita till h6 och g5. 

Så var det med det, en trevlig kväll på Solrosen med en kombination att visa gubbarna nästa gång.

Några veckor senare tittade jag på ovannämnda föreläsning från Scholastic Center of Chess, Saint Louis, Endgame Gold over Goletiani, där Tatev Abrahamyan går igenom sitt vinstparti mot Rusudan Goletiani från damernas USA-mästerskap 2015. Hela partiet finns här.

Ungefär 17.30 in i videon visar Abrahamyan en variant där hon skulle ha haft en forcerad vinst (och som Goletiani därför inte gick in i). Hon säger "There's a forced win in this position already, actually a very cool win".

En av åhörarna föreslår en lite onödigt krånglig variant som visar sig fungera, och sedan sägs inte mer om det. Men den avslutning som jag gissar att Abrahamyan hade tänkt visa, och som jag såg direkt eftersom jag kände igen den från min studie, är 44. g7+ Kh7 45. g8=Q+! Rxg8 46. f8=N+! och 47. Rh7#. 

Jag scrollade ner för att se om någon hade nämnt detta i kommentarerna. Det var det inte. Däremot fanns den ena kommentaren efter den andra om "Hur ska man kunna koncentrera sig på schack när man ser henne?", "Det enda jag ser är två tunga pjäser som hänger, höhö". Och så vidare. Handlade det inte om hennes utseende så var det att hon inte är stormästare. Märkligt, för när Ben Finegold eller Yasser Seirawan pratar är det ingen som kommenterar någons utseende, och ingen klagar på att Jonathan Schrantz inte är stormästare. 

Och när jag gick tillbaka till samma sida lite senare, var hela kommentarsfunktionen avstängd. 

Gubbar, kan vi inte bara säga att de kvinnliga föreläsarna är charmiga och roliga, precis som vi säger om de manliga, och hålla våra eventuella sexuella fantasier för oss själva?

Och framför allt, kan vi inte bara säga att det var en snygg springarförvandling?

 

Friskolevansinnet genom marknadsglasögon

Och nu blir det politik. Imorgon är det val. Jag lutar åt det rödgröna hållet och förfäras till exempel över friskolesystemet där enorma resurser tas från skolorna och blir till vinster för ägarna. 

Men här tycker jag att partierna vänsterut är alldeles för rädda för att prata om marknadsekonomi. Marknader finns. Ibland är de ganska fria. Det är inte av ondo, utan kan rentav sägas ligga till grund för hela vårt välstånd.

Tyvärr har man låtit högern få ensamrätt på att prata om hur bra det är med marknad och fri konkurrens. Företagen måste få göra vinster heter det, för det är vad vårt samhälle bygger på.

I somras pratade Ulf Kristersson om att nästan alla de "sämsta" skolorna är kommunala (Linnea Lindquist skrev ett svar i GP, läs förresten hennes blogg också). Och Jimmie Åkesson kallar det för "bussning" och "integrationsexperiment" när kommuner inte vill driva skolor i utsatta områden. 

Men om vi tar på oss "marknadsglasögonen" ser vi hur vansinnigt systemet är.

Här i Linköping till exempel har man lagt ner den kommunala skolan i den riksbekanta stadsdelen Skäggetorp. Om eleverna "bussas" vet jag inte, för det är inga avstånd det handlar om. Från Skäggetorps centrum är det cirka 2km hit till Gottfridsberg där jag sitter nu, och inom 500 meter till har vi både Folkungaskolan där mina barn gick och Internationella Engelska skolan på andra sidan vägen. Då är vi nästan i centrum. Men hur som helst måste förstås kidsen från Skäggetorp gå i andra skolor, och det blev Jimmie Åkesson arg på när han intervjuades i Skolvärlden den 17 augusti.

Integrationsexperiment kallar han det, och berättar hur man öser pengar över områden som Skäggetorp.

Men vi har redan en skolmarknad som är extremt fri (trots vad Ulf Kristersson hävdade när det var hans tur i Skolvärlden). Denna marknad har redan talat. Det är inte bara kommunen som inte driver skola i Skäggetorp. Ingen gör det. Inte Engelska skolan, inte Academedia, och inte Jimmie Åkesson. 

Om det stämmer som Åkesson säger att man öser pengar över utsatta områden, varför går då inte friskolekoncernerna in och tjänar storkovan? Om kommunerna har problem med Skäggetorp i Linköping eller Hammarkullen i Göteborg, varför kan de inte bara gå ut på skolmarknaden och köpa en färdigpaketerad lösning? 

Svaret är naturligtvis att det inte erbjuds någon sådan, åtminstone inte med nuvarande skolpeng, för det lönar sig inte. Det är för mycket problem och för svårt att spara in på personal och andra kostnader. 

Sedan klagar högern och friskolemiljardärerna på att det är orättvist att det är lägre skolpeng i områden med fina villor, och kommunerna sitter och räknar på socioekonomiska index för att kunna motivera en viss skillnad. 

Men marknaden har ju redan sagt sitt. I själva verket satsas det för lite på skolor i utsatta områden. Hade det inte varit så, hade IES och Academedia redan varit där. 

Jag vet inte om det går att driva en skolmarknad som den vi har på ett vettigt sätt. Men om det ska gå, måste kommunerna som de kunder de är få anpassa skolpengen efter marknaden och höja den på de ställen där ingen vill etablera sig. Det är inte orättvist, utan det är precis så en sund marknad fungerar. 

Den som sedan tycker att det satsas för mycket pengar i Skäggetorp får starta en skola där.  

En bluff och dessutom del av en trend och dessutom kan man inte se någon trend

Tydligen blir bensinpriset en av de viktigaste frågorna inför valet. Jag är inte främmande för att vi som samhälle vidtar åtgärder för att hjälpa folk när det blir tufft ekonomiskt. Men ibland blir jag bara less på högern (ursäkta att jag buntar ihop, jag vet att det är skillnad på olika). 

Här har forskare och miljöengagerade försökt diskutera klimatet i decennier, men fram tills möjligen alldeles nyss gick det inte att prata om klimatvetenskap i till exempel SVT utan att det skulle sitta någon tomte med och säga att det kanske inte stämmer. Nu är det direkta förnekeriet mer sällsynt i public service, men det är fortfarande lågstadienivå när meteorologer måste stå och förklara färgschemat på väderkartorna för en skränande mobb på sociala medier.

Vi kan inte gå ifrån fossilt när bensinen är billig, för då lönar det sig inte. Men när bensinen blir dyr, då ska vi inte heller ställa om, utan då ska vi blixtsnabbt kompensera för detta. Inte genom att sänka andra skatter och låta marknadskrafterna verka, utan genom att stimulera fortsatt användande av fossila bränslen. 

Tänk om diskussionen om drivmedel hade sett ut som klimatdebatten. Låt oss föreställa oss att förmenta experter skulle sitta i TV och radio och påstå att priset kanske inte har höjts överhuvudtaget: 

- Dieselpriset har stått stilla i 50 år och dessutom har det alltid varierat. Man klagade redan då, och då var det minsann ingen som klagade. Alarmisterna har alltid sagt att oljan ska ta slut inom tio år. Prisökningen är en bluff, och dessutom är den en del av en naturlig trend, och dessutom kan man inte se någon trend. Folk begriper inte att det är skillnad på dagspris och konjunktur. 

Det här visste man redan på 1800-talet och alla prognoser har varit fel. Människan kan inte påverka dieselpriset. Dessutom påverkade människan dieselpriset redan på bronsåldern. Historiskt har prishöjningar alltid föregåtts av minskad bilkörning. Nu har det forskats tillräckligt på det här, och det behövs mer forskning. Vi behöver en sansad debatt. Det vore naivt att tro att lilla Sverige kan påverka dieselpriset, och nu har moderaterna höjt det bara för att det är valår. 

Fast det har de inga källor på. Idag var det billigare än igår. Men då har man inte tagit hänsyn till inflationen, och dessutom har vi inte haft någon inflation. Dieseln är en pytteliten del av världsekonomin, och dessutom tankade Jimmie Åkesson, vilket hyckleri! Forskarna är köpta. Alla säger samma sak och de är inte överens om någonting.

I själva verket är det bra för oss i Sverige att dieselpriset höjs, och dessutom kommer det inte att märkas i Sverige. Här har gemene man blivit förd bakom ljuset, men det har alla redan genomskådat. 

Passkaoset och lite räknande igen

Som väl de flesta har hört är det väntetider på ett halvår eller bortåt ett år för den som vill skaffa nytt pass. Polisen utökar sina öppettider men det lär ändå vara många som får vänta över sommaren. 

När detta diskuteras kommer ofta någon med argumentet att de som inte har förnyat sina pass i tid får skylla sig själva. Till exempel postades nyligen en artikel från Expressen på Facebook, och följande var en av de mest gillade av de över tusen kommentarerna:

Den här situationen hade ALDRIG uppstått om de svenskar vars pass gick ut under pandemien hade ansökt om nytt pass innan det gick ut. Två års behov som måste tas igen. Självvklart blir det långa väntetider då.

Rådet är alltså att man ska ansöka om pass innan det gamla går ut, och påståendet är att nuvarande situation då aldrig hade uppstått. Även polisen själva ger allmänheten denna uppmaning. Sök pass med god framförhållning. 

Men låt oss räkna lite (det gillar ju jag). Hur många pass utfärdas normalt per år? Enligt Per Engström på Polisen har man vanligtvis att hantera cirka 200000 bokningar per månad. Detta behöver givetvis inte vara detsamma som antalet bokningar man skulle klara av. Det är svårt att som lekman få fram information om var polisens normala maxkapacitet ligger, men uttalandet måste väl tolkas som att man behövde vidta kraftfulla åtgärder redan för att ta sig upp till 300000 per månad. Så gissningsvis låg den normala maxkapaciteten närmare 200000 än 300000. 

Det är 12 månader på ett år. Om man utfärdar 200000 pass per månad blir det 2,4 miljoner per år. Vi är en bra bit över 10 miljoner svenskar. Pass för vuxna gäller i fem år, men för barn under 12 år gäller de bara i tre år. 

Låt oss dra till med att 1,5 miljoner svenskar är under 12 år. Om dessa skulle skaffa nytt pass vart tredje år och resterande 9 miljoner vart femte, skulle det bli 2,3 miljoner pass per år. 

2,3 är redan ganska nära 2,4. Sedan tillkommer dels att en och annan byter namn eller tappar bort sitt pass och därför behöver förnya innan det har gått fem år, dels att vissa länder rekommenderar att man har ett pass som är giltigt uppåt 6 månader efter att man kommer dit. 

Nu är vi mitt i bloggposten så vi lägger in en bild, captcha från polisen.se:

Här invänder kanske någon att inte alla människor behöver pass hela tiden. Och det är det som är poängen. Så vitt jag kan se med grovt överslagsräknande baserat på vad jag har sett på nyheterna, ligger det nära till hands att misstänka att polisen tidigare har klarat sin uppgift just för att inte alla människor förnyar sina pass när de är på väg att gå ut. 

Nu å andra sidan, inser folk att de redan behöver boka tid fastän deras pass inte går ut förrän om ett år eller så. Och det är därför det blir "köer" (egentligen är det fel att tala om en kö för det finns ingen sådan, man kan bara boka de tider som finns tillgängliga).

Så för att sammanfatta: Förr, när folk inte behövde springa och förnya sina pass långt innan de gick ut, utan man väntade tills man planerade en utlandsresa, klarade polisen av att hantera ansökningarna. Nu å andra sidan, följer folk faktiskt de förnumstiga råden om att förnya i tid, och bokar upp tider långt in på våren 2023 för att de kanske ska åka någonstans nästa sommar. Och det är nu det blir problem.

Det är väl inte så konstigt heller: Om folk förnyar sina pass ofta, får polisen mer arbete, inte mindre.

Jag har inte heller någon enkel lösning på "passkaoset". Men ni som fortsätter att hävda att det hade gått bra om bara alla hade förnyat i tid, ni får komma med konkreta siffror. Så vitt jag kan se är det precis tvärtom, det är tack var dem som har väntat med att förnya som ni har kunnat åka på era semestrar år efter år.      

Att jaga riktiga brottslingar

Vi är inne i februari och en hel del statistik över året 2021 är sammanställd. Bland annat har vi fått veta att det var färre än 200 personer som omkom i vägtrafiken i Sverige på hela året. Som man kan se om man tittar på ett diagram på Wikipediasidan för nollvisionen, är det första gången sedan automobilen slog igenom som det har hänt. Och det är väl tveksamt om det var säkrare med hästar och annat dessförinnan.  

Vi citerar från nyssnämnda wikipediasida gällande att målet för trafiksäkerhetsarbetet år 2007 inte nåddes: "Sedan det konstaterats att målet inte uppfyllts, lyfte Trafikverket fram höga hastigheter som främsta orsak".

Att köra för fort är för många fortfarande typexemplet på ett lindrigt brott. Något vi till mans gör oss skyldiga till då och då. Till exempel kan vi titta på den här videon med Sven Melander. Honom gillar jag, och håller med om vad han säger om våld i nära relationer kontra fotboll och EU-möten. 

Sedan nämner han "jaga fartsyndare" som något polisen kanske inte borde göra. Och så tänker väl många.

Låt oss då blicka tillbaka till det glada 70-talet, när jag var barn. Vi klistrade och höll på, med Anita och Televinken och Barnens Trafikklubb. Sedan kom Trazan och Banarne, och karaktären Olyckan var med i varje avsnitt. James och Karin sjöng om älgar och att titta till höger och vänster. Och det fanns en anledning. Över 1000 personer om året dog i trafiken, många av dem barn. 

Sedan har det hänt saker. Jämfört med då, slipper vi alltså nu i runda slängar en Estoniakatastrof om året. Eller ett Utöya i månaden. Eller vad vi nu ska jämföra med. Det tycker i alla fall jag är värt att uppmärksamma.

Zebralagen, bälte i baksätet, fartkameror, 2-1-vägar, ABS-bromsar, krockkuddar, bättre utbildning och så vidare. Vad som har bidragit mest vet jag inte, men Trafikverket brukar säga att fortkörning är orsak till en stor andel av olyckorna. 

Om det stämmer, har denna typ av brott under många år kostat fler människoliv än alla våldsbrott. Kanske är det nere i jämnt skägg nu. 

Om du tillfälligt råkar trycka lite för hårt på gaspedalen, går det troligen bra. Ta det lugnt. Men om du konsekvent ligger 20 km/h över fartgränsen och kanske dessutom kör nära och stressar dina medtrafikanter, så är du med och bidrar till något som sammantaget är värre än gängbrottsligheten. 

Om du sedan blir stoppad och tycker att polisen borde jaga "riktiga" brottslingar, så tänk på att det kanske är det de gör. 

Sagan om noll upphöjt till noll

I begynnelsen skapades heltalen, polynomen, och de övriga algebraiska strukturerna. På den tiden kunde man bara upphöja till ickenegativa heltal. Oavsett talsystem definierades potenserna rekursivt genom att $x^0 = 1$ och $x^{n+1}=x^n\cdot x$. Detta gällde för alla $x$ och i alla ringar, så till exempel var en nollmatris upphöjt till noll lika med motsvarande enhetsmatris. Detta var en del av matematikens fundament.

Långt senare kom gränsvärden, logaritmer, och andra moderniteter. Finare personer vande sig vid att de kunde bli upphöjda till bråk, irrationella tal, och rentav till komplexa tal. Det blev bekvämt att betrakta $x^y$ som $\exp(y\log(x))$, eftersom det då fanns kontinuerlig autostrada vart man än skulle. Samtidigt ledde detta till att upphöjning blev de positiva reella talens privilegium: För att kunna upphöjas, behövde man ha en logaritm. 

Detta var en regel som uteslöt alla utom en väldigt liten elit. Om den hade upprätthållits, hade matematiken brakat samman. Bland dem som uteslöts fanns till exempel talet $-1$, som upphöjdes i varenda alternerande summa. Men detta lät man passera. $(-1)^2$ fick fortsätta att vara lika med 1 enligt den gamla definitionen, fastän det var oklart vad det hade blivit om man i stället hade upphöjt till 1,99 eller 2,01. Ibland fick $-1$ ett tillfälligt log-pass med nummer $\pi\cdot i$, men alla visste att det bröt mot logaritmlagen, som krävde att $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$. Man fortsatte att se mellan fingrarna och släppa in logaritmlösa arbetare i fabrikerna eftersom det var lönsamt. 

Men en dag hade samhällsbygget kommit så långt att även de allra minsta positiva reella talen hade anslutits till det kontinuerliga vägnätet och kunde bli upphöjda till varandra. Det skulle egentligen inte ha varit något problem, bara de hade kört lite försiktigt kring nollan. Men lagstiftningen kring analytisk exponentiering krävde kontinuitet på hela definitionsmängden, och myndigheterna slog fast att nollan låg för nära motorvägen. "Jag bodde här innan ni var födda", sa nollan, som hade rykte om sig att vara ett besvärligt gammalt original. "Det är ni som är för nära". "Nog kan småbarnen springa runt här, bara de inte har logaritmerna med sig". Till slut lät man nollan vara kvar, men $0^0$ dömdes ut som en olaglig operation. 

Dagen efter rådde kaos i fabrikerna. Taylorserier här och geometriska summor där, deriveringsregler och genererande funktioner, allt stannade med varningar om att odefinierade uttryck hade påträffats. Man satte in ettor och numrerade om summor, men varje gång man hade åtgärdat ett nödstopp, dök nästa upp.

Till slut mumlades det allt högre: "Om de bara hade tillåtit gammaldags exponentiering hade det gått bra". "Det är väl de som kör i full fart precis bredvid nollan som ska ta det lite lugnt". "Är det inte konstigt nuförtiden, att det går att upphöja 2 till $i$, men inte $i$ till 2 om man följer reglerna?". Myndigheterna kom till slut fram till att det "ofta är användbart" att låta $0^0$ vara 1, och gav dispens för detta. 

Vissa menar att nollan inte har fått ordentlig upprättelse, och att man bör se till att skydda även de andra urfolkens rätt till traditionell exponentiering. Andra tycker att nollan får skylla sig själv som ständigt kräver specialbehandling. "Ska man dela med andra, måste man väl kunna dela med sig själv". "Den där nollvektorn sätter sig på tvären mot alla, och ska alltid ha ett eget rum". "Varenda gång vi ställer oss i en polynomring är det en som inte ska ha någon grad, gissa vem det är". 

Diskussionen pågår än idag.

Vresigt om open access från 2007

Jag upptäckte nyligen att den debattartikel jag skrev om open access i Universitetsläraren nr 15 2007, och som min debattmotståndare Inge-Bert Täljedal sedermera (i positiva ordalag!) kallade "vresig", nu inte längre går att hitta via tidskriftens webbsidor. Jag vet inte om den ligger där gömd någonstans, eller om man ironiskt nog har begränsat tillgängligheten. 

Det har glädjande nog hänt en del sedan 2007, men eftersom ämnet ständigt är aktuellt och jag fortfarande vill kunna hänvisa till artikeln, väljer jag att rebelliskt lägga den här trots att det skulle kunna vara ett brott mot upphovsrättslagstiftningen. Dock är det jag som har skrivit texten, och jag har aldrig signerat ett avtal om att överlåta upphovsrätten, så det skulle i så fall hänga på någon teknikalitet i själva korrespondensen (har jag genom att skicka in artikeln implicit accepterat överlåtelse av upphovsrätten?). 

Nu kan man tycka att jag genom dessa överväganden motbevisar den tes jag driver i artikeln, nämligen att det inte finns någon balansgång mellan open access och upphovsrätt. Men då pratar vi om två olika perspektiv. Som obetald författare vill jag göra mina texter tillgängliga, och har inget intresse av att en annan part ska "försvara" mina verk genom att försvåra tillgången till dem. Och lärosätena ska ta forskarnas sida, inte tidskriftsförlagens, en idé som än idag är förvånansvärt kontroversiell.

Ur Universitetsläraren nr 15 2007:

Ta ställning för open access! Debatt nummer 15-07

Debatten om vetenskaplig publicering handlar tyvärr ofta om fel frågor. Inge-Bert Täljedal tar i Universitetsläraren 10/11/07 upp frågan huruvida universiteten kan kräva att forskarna lägger ut vetenskapliga arbeten i öppna elektroniska arkiv. Läsaren bringas uppfattningen att det är universitetsledningarna, Vetenskapsrådet, SUHF och Vetenskapsakademin som går i bräschen för open access, och de enskilda forskarna som stretar emot.

I själva verket är det forskarna som vill göra sina arbeten tillgängliga, och universitetens ledningar som genom passivitet och flathet gentemot tidskriftsförlagen sätter käppar i hjulen för detta!

OFFENTLIGHETSPRINCIPEN är irrelevant i detta sammanhang. Det intressanta är varför vi forskare väljer att publicera i kommersiella tidskrifter och skriva under copyrightavtal som hindrar oss att göra arbetena fritt tillgängliga via internet. Är det för att nå en bred läsekrets? Knappast.

Det som med möda går att hitta i pappersform eller via bibliotekens databaser hade gått att få fram på några sekunder med google och wikipedia om inte förlagens copyrightavtal hade hindrat oss att göra publikationerna tillgängliga.

Svaret är i stället att det är lärosätena själva som tvingar sina anställda att överlåta upphovsrätten till kommersiella förlag. För att ta oss genom träsket av tidsbegränsade anställningar är nämligen vi forskare tvungna att skaffa oss så kallade ”meriter”. Det är bestämt att publikationer i traditionella tidskrifter räknas som meriterande, medan andra typer av publikationer avfärdas som ”preprints” i sakkunnigutlåtanden.

Nu invänder många att den granskning som föregår tidskriftspublicering utgör en viktig kvalitetssäkring. Jens Cavallin påstår i ett svar i Universitetsläraren 13/07 att det är förlagen som sköter denna granskning, med hjälp av ”sina” sakkunniga lektörer. Detta är nonsens. De sakkunniga lektörerna är universitetslärare som granskar anonymt och utan ersättning, och de skulle göra den saken mycket bättre om det skedde öppet och inom ramen för universitetens egen verksamhet.

ATT EN ARTIKEL är granskad och publicerad innebär idag ingalunda någon kvalitetsgaranti. Jag är inte ensam om att som sakkunnig ha sågat en artikel fullständigt, för att sedan ändå se den publicerad. Det är förlaget som har sista ordet, och så länge universiteten köper tidskriften är det lönsamt att publicera. När lektörerna är anonyma och deras rapporter hemliga finns inget sätt att verifiera att de verkligen var positiva till publicering. Att dessa granskare varken får betalt eller erkännande för sin arbetsinsats leder dessutom av mänskliga skäl till en såväl långdragen som slarvig granskningsprocess.

Nackdelarna med det traditionella mönstret för publicering är enorma.

ATT BRYTA DETTA MÖNSTER kräver att man börjar nysta i rätt ände. Det är dumt och framförallt onödigt att försöka tvinga forskarna att publicera i universitetens elektroniska arkiv och därmed försvåra för dem att få in sina arbeten i tidskrifter, så länge man samtidigt godkänner att sakkunniga till tjänster och forskningsanslag nedvärderar dessa forskare på grund av detta.

Open access är en internationell rörelse för att bryta den onda cirkeln.
Att open access skulle behöva ”balanseras” mot upphovsrätten eller på annat sätt vara behäftat med juridiska svårigheter är en myt som odlas av dess motståndare, förlagen. Man skulle önska att Täljedal, som här ska vägleda svenska myndigheter, på ett tydligt sätt tog ställning för open access i stället för att med det trams vi har fått läsa i två nummer av Universitetsläraren bidra till att befästa dylika vanföreställningar.

JAG VILL FÖRESLÅ några åtgärder, ordnade från lättare till svårare, som stöder open access:
1. Låt bli att arbeta gratis som granskare för kommersiella tidskrifter!

2. Välj om möjligt open access-tidskrifter för dina egna publikationer.

3. Möjliggör för forskare att få sina arbeten kvalitetsgranskade utan att behöva vända sig till tidskrifter.

4. Ta policybeslut om att sakkunniga inte får värdera vetenskapliga publikationer efter publiceringssätt.

5. Arbeta för att säga upp prenumerationer på onödiga tidskrifter.

Listan kan göras längre. Liknande och mer detaljerade förslag på vad var och en kan göra finns på Budapest Open Access Initiative: www.soros.org/openaccess/help.shtml, samt Peter Subers websida: www.earlham.edu/~peters/fos/do.htm

JOHAN WÄSTLUND
docent i matematik, Chalmers Tekniska Högskola

Fotboll och damgambit

Nu har det blivit dags för ännu en bloggpost som jag började skriva för evigheter sedan och inte tyckte jag var klar med, men som jag lika gärna kan publicera eftersom ämnet är lika aktuellt nu som då, och lär komma upp gång på gång även framöver.  

I höstas var vi många som såg den underbara serien Queen's Gambit. Serien baseras på en bok från 1983 av författaren Walter Tevis som gick bort bara något år senare. Om ni har tänkt köpa den här boken, så köp den INTE från förlaget Ishi Press, utan försök få tag på någon annan utgåva (jag har inte undersökt vilka alternativ som finns).

Sam Sloan som är högsta hönset på Ishi Press har själv skrivit ett fruktansvärt sexistiskt förord som ni inte vill betala för, och det så sent som 2016. Förutom rena osanningar om kvinnors schackliga begränsningar väljer han att svamla om namngivna spelares sexuella läggning och familjeförhållanden. Till exempel kallar han tidigare världsmästarinnan Susan Polgar för "sex freak" och spekulerar i att hon kan ha haft pojkvänner innan hon bildade familj. Detta anser han alltså är lämpligt och relevant i förordet till en roman som skrevs när hon var fjorton år. 

Det positiva är väl att om någon undrar varför så många tjejer slutar spela, så har vi det svart på vitt. Sexismen inom schacket är fruktansvärd, vilket många har vittnat om och man gång på gång märker även om man inte utsätts själv.

På YouTube får videor som den här ofta trevliga, insiktsfulla, och humoristiska kommentarer - om det är män som föreläser. Men i det här fallet är kommentarsfältet avstängt. När det är kvinnor blir det ofta en sörja av kränkningar och skämt om "hängande pjäser" mm. 

Nyss nämnda Susan (Zsuzsa) Polgar är en världsstjärna och förebild på många plan. Förebild kan man vara oavsett spelstyrka, men nu tänkte jag prata lite om ratingtal. Hennes högsta rating (år 2005) var 2577, och för er som inte vet hur mycket det är tänkte jag dessutom prata om fotboll, som ju är aktuellt nu. 

I fotboll kan åtminstone 14 (med nya regler 16) spelare från varje lag spela i en match, om än inte mer än 11 samtidigt. Inget proffslag går heller runt på bara 14 spelare, utan över en säsong eller en turnering som EM som pågår nu, blir det fler totalt. 

Champions League har flera lager av kval och gruppspel, men om vi tänker på slutfasen där det är 16 lag kvar, lär det ändå vara mer än 250 spelare inblandade. Nu är det EM med 24 landslag, och även det är en rent europeisk turnering. I VM är det 32 lag, och ni kan räkna själva. 

Jag har för mig att jag läste att Susan Polgar var rankad 363 i världen i slutet av 2005. Nu hittar jag inte siffrorna men det låter rimligt. Om schack hade varit fotboll hade hon kunnat spela EM, VM och Champions League utan att skämmas för sig. 

I fotboll finns en mängd faktorer som faller under så kallad "tradition" som påverkar hur bra ett lag eller landslag blir. USA har folkmängd och resurser, men har aldrig kunnat hävda sig mot de bästa europeiska eller sydamerikanska landslagen. Så vitt jag vet har ingen undersökt om förklaringen är genetisk. "Fotboll är inte en stor sport i USA" slår man fast, och så är det inte mer med det. (Uppdatering: USA har förstås länge varit en stormakt i fotboll - på damsidan. Fortfarande lika svårt att förklara genetiskt.)  

Men håll i er nu för det är inte ens den jämförelsen jag tänker göra.

Susans syster Judit var nämligen ännu högre rankad. Som högst, även det 2005, var hon nummer 8 på världsrankingen. Det är inte ens antal spelare på plan i ett fotbollslag. Hade schack varit fotboll hade hon platsat var som helst. Ungefär som Zlatan Ibrahimovic. Hyllad och med i FIFAs "världslag", men ingen Messi eller Ronaldo. Prenumerant på guldbollen i ett decennium, men bara den svenska alltså. Ingen Ballon d'Or. 

Ändå finns det folk som på allvar funderar på vad det är med kvinnors hjärnor som gör att de inte kan nå toppen i schack. Det är så bakvänt att jag inte vet var jag ska börja. Det finns nästan inga kvinnor på seniornivå. När Judit Polgár spelade VM 2005, alltså inte dam-VM utan VM, var kvinnor därmed överrepresenterade i turneringen jämfört med i schacket i stort. 

Föreställ er nu att stora grupper av "experter" skulle älta år ut och år in vad det är som gör att skåningar aldrig blir riktigt bra på fotboll. Är det genetiskt eller kultur eller uppfostran eller vad är det? 

Och så kommer någon på att Zlatan, är inte han från Skåne? 

Jo precis. Vad är det som gör att de aldrig blir riktigt bra? 

Faktakollens dag: Gamla räkneuppgifter

Idag gör vi ett avbrott i den 364 dagar långa tokeriernas julafton för att fira 1 april, faktakollens dag, den enda dagen på året då det inte går att luras. 

Då passar jag på att dela med mig av några räkneuppgifter från 1940- och 50-talen. De första är från inträdesprov till realskolan, sammanställda av Karl Ivar Asplund 1946, som Eva-Stina Källgården har delat med sig av.

När man som jag är van att det finns låg-, mellan-, och högstadium, verkar det här med realskola lite rörigt. Det fanns från treårig till sexårig, och man kunde söka efter fjärde eller sjätte klass i folkskolan. Men de här provuppgifterna är i alla fall avsedda för elever som har gått sex år i folkskola, dvs  motsvarande det vi i min generation kallar mellanstadiet. 

Det syns lite dåligt på vissa ställen, men nivån och vad det handlar om är tydlig. Räkning inklusive divisioner som inte är tillrättalagda, bråk och decimaler, enheter och enhetsomvandling, textuppgifter som kräver kunskap om klockan, kalendern mm. 

Det fortsätter i samma stil:

Vi hoppar några år framåt. Jan Sundström har visat några sidor ur Folkskolans Räknebok för sjunde klassen, från 1955.

Inledningen är repetition av vad eleverna förväntades ha lärt sig på "mellanstadiet":

Och vidare:

Ingen miniräknare hade de heller, för det fanns inte än.

Det här kan kontrasteras mot hur det ser ut på lärarutbildningen idag. Jag länkar till en artikel av Natalia Karlsson: Vet inte, har inte en aning, kommer inte ihåg. Resultaten, bland annat att bara var tredje student kunde beräkna 1/4 av 0,16, förvånar mig inte utan är vardag för mig när jag rättar tentor (jag retar mig dock på att författaren påstår att studenterna har "procedurell" kunskap när sådan uppenbarligen saknas).

Tänk om jag skulle ta fram de gamla räkneuppgifterna för folkskolan, alltså för folkskolans elever, och insinuera att de som idag studerar till lärare förväntas kunna lösa dem? Det vore ett aprilskämt det.

Fast nu låter jag lite elak. Poängen, om jag har någon, är att de här gamla räkneuppgifterna inte egentligen är jättesvåra. De kräver inte tio tusen timmar av tragglande, men de kräver att någon visar hur man gör. Och då måste denna någon, alltså läraren, kunna det. Det är klart att det blir svårt annars. 

Kort exempel av den typ jag ständigt ser: Säg att vi ska beräkna

\[ \frac{4\cdot 3}{16\cdot 15}.\] På lärarprogrammet är många av studenterna så vana vid fokuset på "förståelse", att de verkar tro att man måste räkna ut täljaren för sig och nämnaren för sig, och därefter dividera. Det är ju vad uttrycket "betyder". De ägnar därefter en halv sida åt att ställa upp 16 gånger 15. Att skriva om uttrycket som 

\[ \frac{4}{16}\cdot\frac{3}{15} = \frac14\cdot\frac15\] eller rentav förkorta direkt utan denna omskrivning, betraktas snarare som ett fulknep som ändå vore för svårt att lära ut på mellanstadiet.  

Vad är ett tal?

 

Bakvänt om Singapore?

Bland mina matematiklärarkollegor har den så kallade Singaporemetoden på sistone diskuterats flitigt.  

Innan jag säger något annat vill jag påpeka att jag tycker "blockmodellen" verkar väldigt intressant. Det är den vi egentligen borde prata om. Jag tänker på den som att vi ska uppmuntra elever/studenter att rita figurer, inte bara när det handlar om geometri. 

Men i övrigt blir jag konfys. Jag får en känsla av att man på vissa håll vill marknadsföra läromedel och kurser i Sverige genom att associera med Singapore, men att man samtidigt känner sig tvungen att förvränga bilden av deras skolsystem för att passa svenska förutsättningar och rentav svensk politisk ideologi. 

Jag har avsiktligt med ett frågetecken i titeln till denna post. Jag vet inte hur idén om Singaporemetoden har utvecklats. Det är definitivt inget svenskt påfund, men kanske har konceptet passerat USA och andra länder på vägen hit, snarare än att det kommer direkt från Singapore.

Nu har det i alla fall än en gång konstaterats att Singapore "ligger i topp" i TIMSS, vilket ofta nämns när man för fram Singaporemetodens förtjänster. Men vad TIMSS testar är så vitt jag har sett "bara" förmågan att välja rätt svarsalternativ på räkneuppgifter. Ja, det är viktigt skulle jag säga.

Men då blir det konstigt när till exempel artikeln Skolmetoden som förvandlat hatämnet till en favorit av Eva-Lotta Sigurdh främst understryker att man frångår fokus på rätt svar.

I övrigt nämns grupparbeten, inkluderande, aktivitet, delaktighet, och att ingen är tyst. Och det betonas att man har samma undervisning för alla, starka som svaga. Finns här kanske en ljusglimt för den svenska linjen att undvika nivågruppering, som har analyserats och förkastats i en artikelserie av Håkan Lindgren?

På Admera Education ("Om Singapore Math") är bland det första som sägs att man fokuserar mindre på att lära sig formler, regler och procedurer utantill. Formuleringarna gör tydligt att man sätter sådant i motsats till djupare förståelse. 

Hur dåligt det är med så kallad procedurell kunskap kunde vi även läsa i Skolverkets rapport om TIMSS 2007 (t ex sid 7). Jag ska inte gnälla för mycket över den nu, för jag hittar inte samma formuleringar i den nya motsvarande rapporten, men det fanns några häpnadsväckande passager. Väsentligen hävdade man att elever hade använt "procedurell" kunskap när det enda man kunde se var att de har gjort fel och alltså uppenbarligen saknade denna kunskap. Varefter man drog slutsatsen att procedurell kunskap var dåligt. "Undervisningen i Hong Kong och Taiwan har en konceptuell inriktning till skillnad från undervisningen i Sverige där den huvudsakligen är procedurell", slog man fast utan att ge någon förklaring till hur man visste det eller vad man ens menade.

Då har jag länkat till några artiklar om svensk skola. Men tittar man i stället på artiklar som handlar om Singapore, framträder en helt annan bild. I artikeln Varför lyckades Singapore i TIMSS av Pui Yee Foong, Nämnaren 1999, beskrivs undervisningen i Singapore som traditionell med fokus på prov och nivågruppering. Kursplanen är detaljerad, och nivågruppering i motsvarande vårt högstadium anses nödvändig för att hantera de stora klasserna. Betoningen sägs ligga på procedurer, svar, och precision. 

Artikeln är knappast någon lovsång till Singapores skolsystem, utan nämner bland annat problem med att drillningen inför prov gör det svårt att utveckla en positiv attityd till ämnet hos eleverna. 

I artikeln Why is Singapore's school system so successful, and is it a model for the West? från 2014 nämner David Hogan faktakunskaper, specifika procedurer, drill och "teaching to the test", med fokus på rätt svar snarare än förståelse. Även här diskuteras problem med Singapores skolsystem. 

Det verkar i vissa fall som om det man i Sverige vill marknadsföra som Singaporemetoden inte har så mycket med Singapore att göra, utan snarare går stick i stäv med vad vi vet om Singapores skolsystem. Den svenska "Singaporemetoden" liknar mer de idéer som har tillämpats i Sverige i decennier, och som har gått hand i hand med våra försämrade resultat.

Jag menar absolut inte att skolan i Singapore generellt är ett föredöme. Men i Sverige skulle vi behöva ta ett steg i riktning mot att uppvärdera färdighetsträning, noggrannhet och rätt svar.  

Det blir bakvänt på flera nivåer när myndigheter, läromedelsförlag och pedagoger här i Sverige målar upp en bild av att den svenska skolan fokuserar på rätt svar, att skolan i Singapore inte gör det, och att vi för att bli mer som skolan i Singapore, där de har så många rätt på TIMSS, måste fokusera mindre på rätt svar, så att vi får mer rätta svar, precis som de får i Singapore där de inte fokuserar på sådant. 

Constitution - a two-person board game

Around the time of the 2020 US presidential election I read a discussion about the electoral college system, where someone claimed that voters in small states have a larger influence on the outcome. This seemed weird to me, but the Wikipedia page on the United States Electoral College contains a similar statement: "individual citizens in states with smaller populations have proportionately more voting power than those in larger states" (together with a reference to an article that doesn't give any evidence for it).

I get that it's more likely that an individual vote (or say a small community) will decide the outcome in a smaller state than in a larger one. But on the other hand the larger state has more electors and is therefore more likely to be pivotal in the electoral college.

It seemed to me that, very roughly, the probability of one vote being pivotal in its state should be inversely proportional to the square root of its population, while the probability of that state in turn deciding the whole election should be directly proportional to its size.

That would indicate that on the contrary, you have more "voting power" if you live in a larger state. But it depends on some assumptions, and it's not super easy to motivate with a simple model.

Anyway, I began thinking "if this was a game and you could choose between influencing voters in a large state like California, or in a small one like Montana, what would be the best move?". Then I scrolled down on that Wikipedia page and saw a cartogram of the distribution of electors. The colored hexagons made it look like a board game.

So I designed one. In the end I thought triangles worked better than hexagons or squares. So here is Constitution, the board game.

This two-person game is played on a board representing a map (admittedly weird looking) of the United States. The board consists of 538 triangular cells divided into 51 regions: the 50 states and the District of Columbia (DC). The cells at the same time represent voters, and on another level, electors.

The central point of DC, where its three cells meet, is the "White House", indicated by a dot in the picture.

The synopsis is that as a presidential candidate, you travel around and campaign, winning voter support and eventually electors. When you get 270 electors, you win the game. If no player gets 270 electors, the winner is whoever won 26 states. Finally, if nobody wins 26 states, you can win by finishing on the White House!

Setup

Each player has a piece of their designated color. The pieces move on the corners of the triangular cells (where up to six of the cells meet). Two such points are taken randomly as starting points (possibly subject to constraints of not being the same or not being collinear). One player chooses one of those two points as their starting point, and the other player makes the first move from the other one. 

Support

At every moment, each cell of the board is either "undecided" or supports one of the two players. Support is represented by a counter or chip of the player's color on the cell. 

The play

The protocol for making a move is as follows:

1. You move your piece. The pieces move in straight lines in any of the six directions defined by the sides of the cells. Pieces can move any distance across water, Canada etc, and can jump over the other piece, but they can only land on a corner of one of the 538 cells. 
2. All undecided cells that have a corner in the point you moved to become your supporters.
   
3. If you thereby obtain support from at least half of the cells in a region (a state or the DC), you win that region. When you win a region other than Maine (ME) or Nebraska (NE), all cells in the region become your supporters, even those that earlier supported your opponent. If you win Maine or Nebraska, you obtain support from all previously undecided cells, but your opponent keeps any support they already had.

An important rule is that you can only make a move if you thereby win support from at least one undecided cell. In other words, you can only move to a point that has an undecided cell in its neighborhood.

Notice:

• If a state has an even number of cells, it suffices to get support from half of them in order to win it. But once you have won the state, you will have support from a strict majority, even in Maine. 
• You can win more than one region in a single move.
• As a consequence of the rules, the two pieces will never occupy the same point, except possibly at the start of the game or after the very first move. And no player can ever return to a point that one of them already visited, except for the starting points. 
• There is no rule specifically prohibiting you from staying where you are, but since you must gather new support on every move, the only time this might be possible is on the very first move.

Electors

When you win a region, the support from that region counts as electors. In Maine and Nebraska, any support immediately counts as electors. Elsewhere, as long as a region is "contested" (no player has support from half the cells) support is only tentative and doesn't count as electors.

End of game

Since the number of undecided cells decreases with every move, eventually one player will run out of move options. When this happens, that player has finished playing, and their piece will remain where it is. Their opponent must then keep playing as long as they have move options (unless the outcome of the game is already clear, see the next section). When no player can make any more moves, the game is over.

Winner

The winning conditions, in order of priority, are as follows:

1. A player with the support of 270 or more electors wins ("in the electoral college"). Electors are cells in regions that have been won by the player, as well as any cells supporting the player in Maine and Nebraska regardless of who, if any player, has won those states. 
   
2. If at the end of the game none of the players has 270 or more electors, a player who has won 26 or more of the 50 states wins the game "in the house". Notice that the DC doesn't count as a state. 
3. If no player wins 270 electors or 26 states, a player whose piece finishes on the White House (the point where the three cells of DC meet) wins the game "in the senate". 

If none of these three conditions applies, the game is drawn. 

Notice:

• It may happen that some regions of the board are left undecided at the end of the game. Conditions 2 and 3 therefore apply not only in case of a 269--269 tie, and a player can very well win the game even if they obtain fewer electors than their opponent. 
• Once a player has 270 electors, the outcome of the game is already clear and the game doesn't strictly need to be finished. The same is true if nobody has 270 electors but one player has won 26 states and the other is already out of moves.
  
• One cannot choose to pass if there is a legal move. In order to apply the winning condition 3, a player therefore has to be "stalemated" at the White House. Reaching it after the opponent has run out of moves isn't enough. 
• Winning according to condition 3 means "occupying" the White House in the sense of residing there, not as in conquering by force.
• Once the outcome of the game is clear, it's appropriate for the losing player to resign, preferably by giving a concession speech. 

Update 2021-07-25:

I had a look at this game again, for no particular reason, and came up with a couple of modifications that I guess will improve it. 

The first is to prohibit moving to a corner of a cell that supports your opponent. This makes it harder in general to move, and it gives another strategic meaning to having support in a given cell. You can take control of a point so that later only you and not your opponent can go there. 

The second is to waive both this and the requirement of having an undecided cell in the neighborhood when it comes to moving to the White House. With the new rule, you can go to the White House from any point aligned with it, regardless of the support situation in the neighborhood, only provided your opponent isn't already there.

I guess we might then after all want to have a rule forbidding you to stay where you are, since otherwise you could just stay at the White House and the game would technically never end.

And another thing: Just because you can't move at the moment no longer means you have finished playing: Maybe your opponent is at the White House now, stopping you from going there, but will have to move on their next turn.

These changes together make winning condition 3 much more interesting. The increased difficulty in moving will tend to make larger areas of the board undecided, increasing the likelihood that none of the players can reach 270 electors or 26 states, and you cannot stop your opponent from later finishing at the White House by moving there yourself.

Also, from a game-playing perspective, the special rules for Nebraska and Maine don't add anything so I guess they should be removed.   

And I might have to update my map. 

The twists and turns of random turn chess

It's time for another item of the series Posts I wrote a while ago and "forgot" to publish.

Random turn chess is a chess variant where the move order is random: Before every move, a coin flip decides who will play. If you're lucky you get to play several moves in a row, but you never know, when you make a move, whether it's you or your opponent who will make the next one. There are no special rules for check (or checkmate or stalemate). Instead the goal is simply to capture your opponent's king. Whenever you give a check, you have a 50% chance of winning on the spot. And if you're struggling, your best chance might involve deliberately putting your king en prise - there's no rule that says you can't.

As the name suggests, random turn is quite random. It has a non-random cousin, bidding chess, where the players bid for the right to make the next move. I won't explain it here, but they're basically manifestations of the same game. For the background, see this article by Jay Bhat and Sam Payne.

A few years ago I wrote an article with former student Urban Larsson about endgames in random turn/bidding chess. It's in the book Games of No Chance 5 which is freely available online. 

One thing that sets random turn chess apart from most other chess variants is that the game is amazingly complex already with just the two kings and one more piece!

For instance, look at the following position:

In standard chess this would be a draw, as it's impossible to construct a checkmate. In random turn on the other hand, not only can White possibly win, but so can Black! 

Figuring out the best way to play is a challenge on several levels, even with a computer. One of the quirks is that even in theory, there might be a difference between playing for a win and playing for a draw. Conceivably it might be, for instance, that White's best winning probability is 60%, and that Black's best winning probability is 30%, but that White, in order to win with probability 60%, has to allow Black to win with probability 40%. Moreover, in many positions the best strategy will not force a conclusion of the game in any fixed number of moves.

My computer program eventually sorted out the king + knight versus king endgame (and it turns out that with three pieces, there is never a conflict between playing for a win and playing for a draw). But in order to do so it had to backtrack 2644 moves before the values stabilised. If we compare this to "half-moves" in standard chess, it's more than twice as long as the record forced checkmate of the current endgame databases!

In the diagram, White's winning probability with best play from both sides is exactly ... let's see how to write it on this page...

118149099210761088839658071450928865980708175943671062283570061370088990297242487312344048797827448187146592684262495193145202761460197371
\[\Big /\] 200453006658428905551436939930457127472327950605425153085344343480681727125595119114980629492845444447049929082740309543514434854453248000.

That's a rational number with a numerator and denominator of 138 digits each, approximately 0.5894104617. 

Finally a puzzle that makes sense to us humans. What will happen here, and what's Black's probability of winning? Hint: with best play, the game will end in at most 13 moves.

Spoiler alert

.

.

.

Black's winning chances are \[ \left(\frac34\right)^6\cdot \frac12 = \frac{729}{8192}.\] Can you see why?

Hastigheten i kvadrat ... eller ännu värre?

Nu tittade jag på ännu en Numberphilevideo med en tankeväckande räkneövning. Här vill jag återge den fast med lite snyggare siffror och utan videons brasklappar om "slightly dodgy".

Gåtan är följande: Två bilister i likadana bilar kör i 40 respektive 50 kilometer i timmen åt samma håll på en väg. När de är jämsides (dvs när den snabbare precis kör om) dyker ett hinder upp och båda tvärnitar. Vi bortser från reaktionstid, dvs vi antar att de är jämsides när de börjar bromsa. Vi antar också att de har likadana bilar med lika effektiva bromsar, däck osv. 

Om den långsammare bilen nätt och jämnt hinner stanna för att undvika en kollision, dvs stannar precis vid hindret, vilken hastighet har då den snabbare bilen när den kolliderar med hindret? 

Ett resonemang som nog de flesta inser är för naivt och optimistiskt är att om den långsammare bilen får ner hastigheten från 40 till noll, hinner den snabbare bromsa från 50 till 10. 

Det stämmer inte, men notera att vi faktiskt antar att bilarna hinner bromsa bort 40 km/h på samma tid. Detta är det antagande som ligger bakom standardfrågorna på körkortsprovet, som går ut på att dubbelt så hög hastighet ger fyra gånger så lång bromssträcka osv. Antagandet är att man bromsar med samma kraft vid alla hastigheter. Detta kan knappast stämma exakt, men är nog en hyfsat bra approximation för vanliga trafiksituationer.

Problemet för den snabbare bilisten är att han (det är oftast en man) hinner längre på denna tid. Så kraschen blir definitivt i mer än 10 km/h. 

Nästa tanke är att räkna ut hur bromssträckorna förhåller sig till varandra. När hastigheterna har förhållandet 4 till 5, blir bromssträckorna som 16 till 25. Det är egentligen ganska enkelt och hör som sagt till teoriprovet: Sträckan är tiden gånger hastigheten, och både tiden och den genomsnittliga hastigheten under inbromsningen kommer att ha förhållandena 4 till 5. 

När den snabbare bilen kraschar in i hindret har den alltså 9/25 av sin hypotetiska bromssträcka kvar. Kanske borde den då även ha nio tjugofemtedelar av sin ursprungliga hastighet? Det blir i så fall 18 km/h, rejält mycket mer än de 10 som det naiva tankesättet ledde till. 

Men det är faktiskt betydligt värre! När vi har 9/25 av bromssträckan kvar, får vi dra kvadratroten ur 9/25 för att få andelen av hastigheten vi har kvar. Detta enligt exakt samma princip som nyss! Och när vi drar roten ur ett tal mellan 0 och 1, får vi ett större tal, i det här fallet 3/5. 

Svaret är alltså att den snabbare bilen inte ens hinner halvera sin fart, utan kraschar in i hindret i 30 km/h! 

Det här kan vara något att tänka på när vi pratar hastigheter i tätorter. Det har ofta påpekats att riskerna för oskyddade trafikanter ökar dramatiskt i ett fönster runt 30-40 km/h, och då pratar vi alltså om hastigheten vid själva kollisionen (även om det nog är svårt att få fram exakta data). Men dessutom kan alltså hastigheten vid en kollision i sin tur öka dramatiskt även vid en liten skillnad i hastighet före inbromsning.

Men tillbaka till vår räkneövning. Den som kan sin Pythagoras sats känner säkert igen både förhållandena 3:4:5 och kvadrerandet följt av kvadratrotsutdragning. Och det stämmer generellt. Närhelst vi har en Pythagoreisk trippel, dvs tre tal som uppfyller \[ a^2 + b^2 = c^2,\] får vi motsvarande slutsats: Om bilarna hade hastigheterna $b$ och $c$ där $b$ är det mindre talet, kommer den snabbare bilen att ha hastigheten $a$ efter den sträcka som den långsammare bilen behövde för att stanna. 

Vi kan till exempel vända på det och jämföra två bilar med hastigheterna 30 kontra 50 km/h. Då blir slutsatsen att den som kör i 50 kraschar i 40 när den som kör i 30 hinner stanna!

Nästa Pythagoreiska trippel, $5^2 + 12^2 = 13^2$, handlar lika pedagogiskt om vad som händer när någon blir stående på motorvägen. 120 eller 130 kan väl kvitta kanske man tänker. Men händer det en olycka framför och den som kör i 120 precis hinner stanna, så kommer den som höll 130 att braka in med en kvarvarande hastighet av 50 km/h.

  

Zero to the zeroth power

The question of the number zero raised to the zeroth power comes up often enough that finally I wanted to put my response to it on the blog for future reference. In short: \[ 0^0 = 1.\] This might not seem like such a big deal, but in the broader scheme the point is: 

We should not teach that mathematics is full of things that can go wrong and that one has to be "careful". We should teach that mathematics can be trusted even if some of it looks weird at first. 

It's the former approach that tends to depict mathematics as some incomprehensible wizardry, not the latter. 

I wouldn't have written this post if everyone already agreed on the status of $0^0$, but it seems that the idea that $0^0=1$ is still the minority view even in the teacher community. In a poll among mathematics teachers last year, about 85% of the responders chose the answer "0^0 is undefined" over the alternative "0^0 = 1".

But let's first review what the problem is, so we know what we're debunking. On one hand it's generally agreed that $x^0 = 1$, at least when $x>0$. This might itself require an explanation, but is rarely disputed. For instance, $10^3$ is $1000$, which is 10 times as much as $10^2$, which is 10 times as much as $10^1$, so it makes sense that $10^0 = 1$ and that $10^{-1}=1/10$ and so on. 

On the other hand $0^x = 0$, again at least if we assume that $x>0$. For instance, $0^3 = 0\cdot 0 \cdot 0 = 0$ and $0^{1/3} = \sqrt[3]{0} = 0$. 

So if $0^0$ is to have a specific value, there will be a clash between the two rules $x^0=1$ and $0^x=0$. One of them suggests that $0^0$ should be 1, the other that it should be zero. 

Moreover, this clash manifests itself in the exercises of the typical calculus course, where we're asked to compute things like \[ \lim_{x\to 0+} (\sin x)^{1/\log x} = e \approx 2.72.\] This limit has the form of something raised to a power, where both the base and the exponent tend to zero. Many textbooks make a big deal out of the fact that this doesn't determine the limit, listing $0^0$ as an "indeterminate form" along with truly meaningless expressions like $0/0$ and $\infty - \infty$. This has led to a widespread belief that $0^0$ can't consistently be assigned a value. 

Probably algebra has a part in this too: We're taught that \[ \frac{x^5}{x^2} = x^3,\] just subtract one exponent from the other. And lo and behold, \[ \frac{x^2}{x^2} = x^0 = 1,\] except there's a problem when $x=0$, because then there's a zero in the denominator of the left hand side. So it seems that whenever $0^0$ shows up, there's something fishy going on. 

It's just that that's not true. "Indeterminate forms" aren't really a thing, they're basically just lists of common beginner's mistakes. Or if we're a bit cynical, lists of ways an examiner might try to trick you on a test. We can't make $0^0$ agree with a limit of $x^y$ at $x=y=0$, but that's not a conundrum, that's a discontinuity. Discontinuities exist. There was never a theorem that everything is continuous in the first place. And denominators that might be zero is a different matter altogether. If that's the issue, the equation $x^5/x^2 = x^3$ is just as problematic.

In reality, zero to the zeroth power is virtually omnipresent, and the pattern is the same every time: We want $x^0$ to be equal to 1 always. And we want $0$ to a power to have the exceptional value 1 precisely when the exponent is zero.

Fundamentally this is because $0^n$ answers the question "If you put an apple on a table and then $n$ times perform the operation of removing all the apples from the table, how many apples are then on the table?" (answer: If you never removed it, it's still there, otherwise it's gone). If we trace mathematics down to its logical foundations, this is the sort of thing we encounter. Everything else, like $e^{i\sqrt{\pi}}$ and so on, is built on top of that. Therefore not only is it "often useful" to let $0^0=1$. It's also completely safe and the only option that doesn't leave us with a mess of exceptions. 

Famous examples where we can't really avoid $0^0$ include Taylor series like

\[e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\] and the binomial theorem \[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}.\] In both cases we want the factor $x^0$ to be 1 if $x=0$, otherwise we get the wrong thing.

More generally, $x^0 = 1$ is a building block of polynomials and power series, which play a major role in algebra, analysis, and discrete mathematics. Powers of zero on the other hand occur naturally only when the exponent is a nonnegative integer. Therefore there's no issue of continuity in the exponent, and $x^0=1$ takes precedence over $0^n=0$.  

I recently stumbled upon something involving so-called Stirling numbers, that count ways of partitioning $n$ objects into a given number of nonempty subsets. For instance, the number of partitions of $1, 2, \dots, n$ into 3 nonempty subsets is given by the formula \[\frac{3^n - 3\cdot 2^n + 3}6,\] or so it would seem. Here if we plug in $n=1, 2, 3, 4$, we get the numbers $0, 0, 1, 6$, which makes sense: We don't distinguish the three parts (hence the division by 6), but we do require them to be nonempty, which means $n$ must be at least 3 before it's possible at all.

But if we set $n=0$ we get the nonsense value $1/6$ which isn't even an integer. At this point I hear you asking why any sane person would consider partitioning an empty set into nonempty parts. Can I really complain about a nonsense answer to that? The problem was that this occurred inside a loop where my computer program added together some stuff that I didn't look at case by case myself. 

Or rather, that would have been the problem. But luckily I knew what the real formula is. It's not the one above, but rather \[ \frac{3^n - 3\cdot 2^n + 3\cdot 1^n - 0^n}6.\] Not only does this produce the correct value also when $n=0$, but it reveals the pattern that explains what the formula for any given number of parts will look like, as well as why it's true (if you don't see it, don't worry).  

Notice that the formula involving $0^n$ is the one that lets you sleep at night. It's if you would use the other one, or (imagine the horror!) if your computer algebra system wouldn't recognise that $0^0=1$, that you'd have to worry that something might go wrong.

But can we be certain that $0^0=1$ makes sense every time?  

A "foundational" answer (already hinted at) is yes, because arithmetic is built from just a few basic principles, one of which is that an empty product is equal to 1 (there are numerous ways of formulating the details). Since the more sophisticated stuff already rests logically on that basis, a fundamental thing like $0^0$ can't possibly jump up and bite us from behind. 

More philosophically, we can compare mathematics to things like, say, traffic regulations, English grammar, or a toolkit for the household. Those things are man-made and there's no fundamental reason they must work. If we're not careful they won't, and if something weird occurs, we might actually want to fix it with a patchwork of exceptions.  

Mathematics is not like that. It's not a mish-mash of compromises and conventions. It works whether or not we understand why. It doesn't break if we do something that wasn't intended, and it can be explored: If you establish a formula, it will give me the right answer even if I plug in some numbers that you never thought of. Like zero to the zeroth power.

Lyssna på Greta Thunberg och sprid ordet!

När jag lyssnade på Greta Thunbergs sommarprat igår kom jag att tänka på detta med att upprepa något som låter orimligt, så att det till slut känns rimligt. Mycket finns skrivet om "gas-lightning", "illusory truth effect" mm, och exemplen handlar ofta om Hitler, valkampanjer, reklam, och sociopater i parrelationer. 

Men psykologin är nog densamma även när påståendena är sanna. Så låt oss göra som Greta Thunberg och sprida klimatvetenskapens rön. 

Ska vi klara de mål som Sverige och de flesta andra länder har enats om i Parisavtalet, har vi motsvarande 7-8 år av dagens nivå kvar av hela koldioxidbudgeten. 

Det handlar alltså inte om att minska utsläppen med si eller så många procent. Det handlar inte om hur mycket vi kan släppa ut per år. Vi måste ner på väsentligen noll om vi ska undvika kollaps av klimat och ekosystem, och det måste hända saker före år 2030 om det inte ska bli väldigt, väldigt bekymmersamt. Fossila bränslen har ingen framtid överhuvudtaget. De måste fasas ut helt.

Det låter orimligt. Men om vi upprepar det tillräckligt ofta kommer det att bli så bekant att du kan säga det till vem som helst, till och med om du är politiker, utan att folk tror att du har blivit tokig.

Och till stor del är minskning av utsläppen inte ens svårt, eftersom vi kommer långt bara med att sluta göra onödiga saker. Vi behöver inte shoppa hållbart eller resa klimatsmart. Vi kan skippa det mesta helt och hållet. 

Vi avslutar med en räkneövning. Fem-sex minuter före slutet nämner Greta Thunberg en ny rapport som visar att vi måste minska våra utsläpp med 12-15% varje år för att vara i linje med Parisavtalet. Låt oss säga att vi skulle minska med 12.5% varje år. Det är en åttondel. Om vi jämför med nuvarande årliga utsläpp skulle det bli 7/8 nästa år, och 7/8 av 7/8 året därpå, och så vidare. Den totala mängden för all framtid skulle då bli

\[ 1 + 7/8 + (7/8)^2 + (7/8)^3 + \dots \]

Detta är en så kallad geometrisk serie, och summan blir inte oändlig utan stannar vid precis 8. Summan från år 2 och framåt är nämligen 7/8 av det hela, vilket innebär att den första termen är en åttondel av totalsumman. 

De 12-15 procenten stämmer alltså bra med de 7-8 år som nämndes tidigare. Med den takten skulle vi efter 10 år vara nere på 26%. Det är svårt att hävda att detta är orimligt, med tanke på att många av världens fattigare regioner aldrig har varit uppe på motsvarande 26% av vår nivå.

 

Beatboxing and the Shannon number

There is a famous number called the Shannon number, which "estimates" the number of possible games of chess. In mathematics and computer science, when you estimate something, it doesn't necessarily mean you find a number that's fairly close to it. It means that you compare it to something where you can say with absolute certainty whether is greater or smaller. If you're thinking about how long it would take for a snail to crawl to the moon, one estimate is that it must take at least one second, since the moon is more than one light-second away.

In the same spirit, Claude Shannon pointed out in a pioneering paper on computer chess that the number of possible games of chess is at least $10^{120}$. Let's write that out just for fun:

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.

As we will see, Shannon's estimate is off by several thousands of orders of magnitude. In comparison, given that it took only a few hundred million years for slimy creatures to evolve into astronauts, the snail versus speed of light estimate is pretty good, just 16 or 17 orders of magnitude away from best possible.

The Shannon number turns out not to be that important to the question of how hard chess is. But I while ago it turned up in another context: People asking Siri to compute one trillion to the tenth power!

Shannon's number was just mentioned in a remark in his paper, but went viral, as we would say today.

In Shannon's calculation, a game of chess means a sequence of moves from the start to the end of the game, like for instance 1. e2-e4  e7-e5, 2. Bf1-c4 Bf8-c5, 3. Qd1-h5 Ng8-f6, 4. Qh5xf7#. That's one game in the space of all chess games, and another one is 1. e2-e4  e7-e5, 2. Qd1-h5 Bf8-c5, 3. Bf1-c4 Ng8-f6, 4. Qh5xf7#. Even though they reach the same position after White's third move, they get there through different move orders and are therefore counted as two different games. On the other hand it doesn't matter how many times the same sequence of moves has been played throughout chess history. If it's exactly the same sequence, it counts as one game.

The assumption in Shannon's paper is that the 50-move rule and the rule of threefold repetition ensure that a game of chess cannot go on forever, and that therefore the number of possible games is finite. This isn't strictly valid under standard tournament play, since one of the players must claim a draw in order for the rules to apply. But let's go with the assumption that a game ends as soon as the same position is repeated three times or 50 moves (100 consecutive "ply") are made without a capture or a pawn move.

Shannon's idea was that a normal game lasts about 40 moves (40 for each player, so 80 ply), and that in an ordinary position there are about 30-35 move options. That gives roughly 1000 possibilities for a pair of a white and a black move, and $1000^{40} = 10^{120}$ is Shannon's number.

What he wanted to point out was just that the obvious algorithm of recursively tracing through the whole game tree of chess isn't practical. He must surely have been aware that the estimate of $10^{120}$ is ridiculously off the mark. The true number of games is way way, way, larger. Notice that the 50-move rule and the rule of threefold repetition didn't even enter Shannon's calculation, and without them the number of games would have been infinite.

Anyway, let's imagine that we are navigating through the space of all chess games, inspecting various specimens at random. What do we see? The first thing we notice is that the games don't make sense from a player's point of view, since the pieces just move aimlessly. The next thing that strikes us is that most games are really long. This is because there are many more different ways of playing hundreds of moves than there are ways of playing 30 or 40 moves.

A back-of-the-envelope calculation shows that if we start by pushing all the white pawns to the third rank and the black pawns to the sixth rank to create some space, and then just shuffle the pieces around, pushing a pawn every 50 moves, we can keep going for well over 2000 moves capturing only two white and two black pawns. Even though this puts some restrictions on the number of move options available, we can make sure that each piece except the pawns always has at least one move option. Avoiding threefold repetition is a little bit of a hassle, but still there must easily be more than $10^{4000}$ different games.

An equally rough estimate (!) shows that the games that last at most 700 moves don't give more than $10^{3500}$ possibilities, meaning they are outnumbered by the longer games by a mind-boggling factor of at least $10^{500}$. According to a list of world records in chess, the longest known tournament game lasted for 269 moves. But as we fly through the space of all chess games, we never encounter a game as short as that one.

And how does a "typical" game start? In tournament play, 1. e2-e4 has been the most common first move throughout most of chess history, with 1. d2-d4 being about equally popular in the last century. But from our spaceship, we don't see a single game starting with a pawn move! The games we see from our window all start with White making one of the four possible knight moves, and Black responding similarly with a knight.

This is because for every game that starts with some pawn move, for instance 1. e2-e4, there is a corresponding astronomical number of games that start with the players developing their knights, then moving them around for a while, finally returning them to their original squares just before move 50, and White only then playing e2-e4.

For instance, the famous Opera game started 1. e2-e4, and ended with White checkmating with 17. Rd1-d8#. That's one game. But it has 16 siblings that start with White and Black each making a knight move, then going back with the knights, and continuing 3. e2-e4, ... 19. Rd1-d8#. And it has several hundred cousins that start by the knights jumping around for another two moves before playing 5. e2-e4, ... , 21. Rd1-d8#, and so on. The number of ways that the knights can jump around (and rooks move back and forth) returning to the starting position at move 48 is astronomical (quiz: in how many ways can they return after move 49?).

So the typical citizen in the space of all chess games is a game where the first 45 or so moves by each player are made by knights and rooks, and where in the next few hundred moves, a pawn is pushed only about every 50 moves.  

So given that there are more than $10^{4000}$ games, does this mean that to play perfect chess we would need a computer capable of performing that many logical operations?

Actually no. We could solve chess completely with far fewer than $10^{120}$ operations, so in that sense, the Shannon number is completely off in the other direction too!

This is because the number of chess positions is much smaller than the number of games. To see this, notice that in a chess position, each of the 64 squares can be in only 13 different states: empty, or occupied by a black or white piece of one of the six types. In addition, we need to keep track of who is about to move, castling rights, and possible captures by en-passant. But all this can be encoded if we let the squares have 14 states instead of 13. Even without taking into account that each player must have exactly one king, at most 16 pieces and so on, we easily estimate (!) the number of chess positions to be at most $10^{74}$.

The idea that a chess endgame can be understood by considering just the positions it can lead to, rather than the much larger number of lines of play, is what lies behind endgame databases. But long before computers it was implicit in the concept of corresponding squares. In particular, it's interesting that the winning strategy from the famous Lasker-Reichhelm position can be completely understood by a human, despite the vast number of possible lines of play.

Even $10^{74}$ is a very rough upper bound, and in order to play perfect chess we probably don't have to examine more than a tiny fraction of the space of all positions. Presumably there is a much smaller set of key positions that would suffice for a complete "endgame database" from the starting position.

At a dinner a couple of years ago I discussed with Anders Sandberg whether solving chess would be feasible. We agreed that yes, we probably have enough resources already in our own solar system! We just need to send a swarm of self-replicating robots to Jupiter, transforming the planet into a giant chess computer, and most likely we'll get the answer!