Primtal och siffermönster

Euklides kunde bevisa redan för 2300 år sedan att det finns oändligt många primtal. Med tiden har jag kommit att tycka att det mest fascinerande inte var att han begrep att det finns oändligt många, utan att han argumenterade för det med ett bevis. Vem var det han förklarade för? Hur diskuterade man? Hur såg det samhälle ut där ett stringent logiskt resonemang ansågs värt att skriva ner och föra vidare, när högröstad auktoritet i de flesta tider och kulturer har betraktats som mer trovärdigt?

Bevismetoden är idéhistoria. Om vi till exempel vill visa att det finns ett primtal som är större än en miljon, kan vi tänka på talet \[M = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdots 1000000 + 1.\] Här har vi multiplicerat ihop alla tal upp till en miljon och adderat 1. Liksom alla heltal större än 1 måste detta tal vara delbart med något primtal, för är det inte delbart med något annat primtal är det självt ett primtal. Men det primtal som talet $M$ är delbart med kan inte vara något av talen upp till en miljon, för $M$ ger rest 1 vid division med vart och ett av dem. Vi ser alltså att det måste ligga myriader av primtal och lura i mörkret bortom en miljon, även om resonemanget inte ger någon ytterligare ledtråd till vilka dessa tal är.

Idén om en formel eller ett mönster som styr primtalen har varit en sorts helig graal för matematiker genom tiderna. På 1600-talet fick Pierre de Fermat idén att starta från 2 och bilda en följd där varje tal är kvadraten av det föregående, alltså $2, 4, 16, 256, 65536, \dots$ Han gissade att om vi adderar 1 till vart och ett av dessa tal, så att vi får \[3, 5, 17, 257, 65537,\dots\] skulle vi få en följd av enbart primtal. Men det sprack när redan nästa tal, 4294967297, visade sig vara delbart med 641. Han hittade inte graalen...

Gör man en lista över primtal upptäcker man att alla utom 2 och 5 slutar på någon av siffrorna 1, 3, 7 eller 9. För ett par-tre år sedan blev det ståhej i matematikvärlden när det påstods att man hade upptäckt "primtalskonspirationer" i form av oväntade mönster i primtalens slutsiffror. Men det visade sig till slut att mönstren skulle vara där och att talen uppför sig som de ska.

Jag tänkte prata lite om att vi faktiskt vet, sedan 1830-talet, att det finns oändligt många primtal med var och en av slutsiffrorna 1, 3, 7 och 9. Det fantastiska beviset av Lejeune Dirichlet är giltigt inte bara modulo 10 utan i varje talbas.

Jag har flera gånger tänkt att det borde finnas en introduktion till Dirichlets teorem som började med att beskriva fallet modulo 10. Förutom att 10 är basen för vårt siffersystem är det också det enklaste fallet där man behöver komplexa tal. Men man behöver ingen komplex analys per se. Koefficienterna i de serier man behöver är bara $\pm 1$ och $\pm i$ och det räcker att titta på det komplexa argumentet av en enda serie.

Det kanske finns något sådant nerskrivet någonstans, men jag har inte hittat det, och ska man få någonting riktigt som man vill ha det, får man ändå göra det själv...

Men vi börjar med att se hur långt vi kan komma genom att modifiera Euklides bevis. Första steget i Dirichlets riktning blir att visa att det finns oändligt många primtal som slutar på 3 eller 7.

Antag att vi multiplicerar ihop alla tal som slutar på 3 eller 7 upp till en viss gräns, till exempel en miljon. Om gränsen är ett jämnt tiotal så att vi har lika många faktorer som slutar på 3 respektive 7, slutar produkten på en etta. Om vi sedan adderar 2, får vi ett tal som slutar på 3 och som inte kan vara delbart med något tal som ingår i produkten:
\[M_3 = 3\cdot 7 \cdot 13\cdot 17 \cdot 23\cdot 27\cdots 999997 + 2.\] Men ett tal som slutar på 3 eller 7 måste ha någon primfaktor som slutar på 3 eller 7, så det måste finnas något sådant primtal större än en miljon.

Med ett resonemang som bygger på så kallade kvadratiska kontra icke-kvadratiska rester (ett nyckelord är kvadratisk reciprocitet) kan vi visa att det också finns oändligt många primtal som slutar med 1 eller 9. Vi kan nämligen titta på vilka primfaktorer ett tal av typen $n^2-5$ kan ha. Om $p$ är ett primtal som delar $n^2-5$, så är $n^2$ kongruent med $5$ modulo $p$. Multiplikation med 5 måste därmed ge vad som i kombinatoriken kallas en jämn permutation av restklasserna modulo $p$. Men det visar sig att om $p$ slutar på siffran 3 eller 7, kommer multiplikation med 5 att ge en udda permutation av restklasserna. Ett tal av typen $n^2-5$ kan därför aldrig ha en primfaktor som slutar på 3 eller 7.

Här finns det massor av intressanta siffermönster. Ett tal som består av en radda med tvåor följt av en radda med ettor, och som har en mer etta än tvåa, kan till exempel bara ha primfaktorer som slutar på 1 eller 9. Talen 211, 22111 och 2221111 är själva primtal, medan \[222211111 = 379 \cdot 586309,\] \[22222111111 = 109\cdot 8221\cdot 24799,\] \[2222221111111 = 20411\cdot 108873701,\] och så vidare. De här talen är inte själva på formen $n^2-5$, men de följer mönstret \[222211111 = \frac{66665^2 - 5}{20}.\] När vi dividerar bort 20, finns bara faktorer som slutar på 1 och 9 kvar.

Ska vi göra ett bevis av Euklidiskt snitt kan vi titta på talet \[M_9 = \left(2\cdot 1\cdot 9\cdot 11\cdot 19 \cdot 21 \cdot 19 \cdots 999999\right)^2 - 5.\] Produkten inom parentes består av alla tal under en miljon som slutar på 1 eller 9, samt en faktor 2 för att garantera att resultatet efter att vi har subtraherat 5 är ett udda tal.

Talet $M_9$ kan inte vara delbart med 2 eller 5, och på grund av den kvadratiska reciprociteten inte heller med något primtal som slutar på 3 eller 7. Alla dess primfaktorer måste alltså sluta på 1 eller 9, men de kan inte ingå i produkten i vänsterledet, så de måste vara större än en miljon.

I själva verket kan vi stärka slutsatsen ytterligare: Talet $M_9$ slutar på siffran 9, så det måste ha en primfaktor som slutar på 9 (om alla slutade på 1 skulle $M_9$ sluta på 1).

Det var förresten den kvadratiska reciprociteten som ställde till "primtalskonspirationerna". Primtalen kunde inte ligga hur som helst utan var tvungna att lyda reciprocitetslagen.

Vi kan även konstruera en följd av tal vars samtliga primfaktorer slutar på siffran 1, och samtidigt ge Pierre de Fermat upprättelse. Vi tittar på tal av typerna \[n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 = \frac{n^5-1}{n-1}, \text{ och}\] \[n^4 - n^3 + n^2 - n + 1 = \frac{n^5+1}{n+1}.\] Om primtalet $p$ är en delare i något av dessa tal, måste $n^5$ vara kongruent med $1$ respektive $-1$ modulo $p$. Enligt en sats av Fermat innebär det att $p-1$ måste vara delbart med 5, såvida inte $n$ är kongruent med $1$ eller $-1$. I båda fallen blir slutsatsen att talet 5 kan förekomma som en primfaktor för vissa värden på $n$, men att samtliga övriga primfaktorer måste sluta på siffran 1.

Om vi tar $n=10^{12}$ till exempel, blir $n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$ lika med talet \[1000000000001000000000001000000000001000000000001\] med det vackert klingande namnet en oktiljon en sextiljon en kvadriljon en biljon ett och den underbara primfaktoriseringen \[31\cdot 41\cdot 61\cdot 211\cdot 241\cdot 271\cdot 2161\cdot 3541 \cdot 9091\cdot 27961\cdot 2906161\cdot 4188901 \cdot 39526741.\] Även här kan vi à la Euklides tvinga fram primfaktorer bortom varje given gräns genom att låta $n$ vara delbart med alla tal upp till denna gräns.

För att sammanfatta så långt, vet vi alltså att det finns oändligt många primtal som slutar på siffran 1, oändligt många som slutar på 9, och oändligt många som antingen slutar på 3 eller 7. Det här visste nog Fermat, Euler och Gauss, men för att knyta ihop säcken skulle vi vilja ha ett bevis för att det inom den sistnämnda kategorin primtal både finns oändligt många som slutar på 3 och oändligt många som slutar på 7.


Dirichletserier

Den så kallade harmoniska serien \[ 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18 + \frac19 + \frac1{10} + \dots\] är divergent. Summan kan alltså bli hur stor som helst bara vi tar med tillräckligt många termer. Den harmoniska serien kan faktoriseras genom av vi delar upp alla nämnare i primtalspotenser och bryter ut ett primtal i taget: \[ \left(1+\frac12 + \frac14 + \frac18+\dots\right)\cdot\left(1+\frac13+\frac19+\frac1{27}+\dots\right)\cdot \left(1+\frac15+\frac1{25}+\dots\right)\] \[ \cdot \left(1+\frac17+\frac1{49}+\dots\right)\cdot \left(1+\frac1{11}+\frac1{121}+\dots\right)\cdot \left(1+\frac1{13}+\frac1{169}+\dots\right)\cdots\] Om vi börjar med att bryta ut faktorn i den första parentesen, får vi termerna med udda nämnare kvar. Efter att vi också har brutit ut den andra faktorn har vi kvar de termer vars nämnare inte är delbara med 2 eller 3, och så vidare.

Varje faktor är en geometrisk serie, så vi kan skriva om hela produkten som \[\frac21\cdot \frac32 \cdot \frac54\cdot \frac76 \cdot \frac{11}{10}\cdot \frac{13}{12}\cdot \frac{17}{16}\cdot \frac{19}{18} \cdots\] Här har vi följden av alla primtal i täljarna. Delprodukterna svarar inte på något enkelt sätt mot delsummor av den ursprungliga serien, men det står ändå klart att även produktformen måste vara divergent, och att \[\prod_{p<N}\frac{p}{p-1} \geq \log N.\] Detta ger oss ett nytt bevis för att det finns oändligt många primtal.

Så här långt hade Leonhard Euler kommit på 1730-talet. Ungefär hundra år senare fick Dirichlet idén att faktorisera andra liknande serier på samma sätt. Till exempel tittade han på serien \[1- \frac13 - \frac17 + \frac19 + \frac1{11} - \frac1{13} - \frac1{17} + \frac1{19} + \frac1{21} + \dots\] Här är bara termer vars nämnare slutar på 1, 3, 7 eller 9 med, och dessutom har vi satt minustecken på dem vars nämnare slutar på 3 eller 7.

Nu blir serien konvergent, det vill säga summan blir ett ändligt tal. Om vi grupperar termerna fyra och fyra efter jämna tiotal kan vi skriva den som \[\sum_{k=0}^\infty \left(\frac1{10k+1}-\frac1{10k+3}-\frac1{10k+7} + \frac1{10k+9}\right)\] \[= 120\cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{2k+1}{(10k+1)(10k+3)(10k+7)(10k+9)}\approx 0.64561.\] Skrivet på det sättet blir alla termer positiva och de går snabbt mot noll. Redan den första termen ger $1-1/3-1/7+1/9 = 40/63 \approx 0.63492$.

När vi faktoriserar blir det alternerande tecken för alla primtal som slutar på 3 eller 7, men plustecken rakt igenom för dem som slutar på 1 eller 9 (och inga faktorer för 2 eller 5): \[\left(1-\frac13+\frac19-\frac1{27}+\dots\right)\cdot \left(1-\frac17+\frac1{49}-\dots\right) \cdot \left(1+\frac1{11}+\frac1{121}+\dots\right)\] \[\cdot \left(1-\frac1{13} + \frac1{169}-\dots\right) \cdot \left(1-\frac1{17} + \frac1{289}-\dots\right) \cdot \left(1+\frac1{19} + \frac1{361}+\dots\right) \cdots\] \[ = \frac34 \cdot \frac78\cdot\frac{11}{10}\cdot \frac{13}{14}\cdot \frac{17}{18}\cdot\frac{19}{18}\cdot\frac{23}{24}\cdot\frac{29}{28}\cdot \frac{31}{30} \cdots\] Men i det här fallet har serien både positiva och negativa termer, så relationen mellan delsummor av serien och delprodukter av den oändliga produkten blir inte lika enkel. Faktum är att den här produkten konvergerar mot samma värde som summan, men det är ett väldigt djupt resultat och ingenting som Euler eller Dirichlet kunde reda ut. En nyckelfras här är primtalssatsen för aritmetiska följder.

Som Dirichlet själv påpekade i originalartikeln (som jag själv tycker är lättast att läsa i engelsk översättning), måste ett bevis för konvergens av den här typen av produkt utnyttja att primtalen kommer i en viss ordning, för om vi blandar om faktorerna kan den fås att konvergera mot eller oscillera mellan vilka positiva värden som helst. Så länge ingenting i vårt resonemang beror av att vi bryter ut faktorerna i någon viss ordning, kan vi inte ha tillräckligt med krut för att visa att den här produkten konvergerar.

För att komma runt detta införde Dirichlet en variabel $s$ som vi kan tänka på som ett tal strax ovanför 1, typ $1.01$, och tittade istället på vad vi än idag kallar för $L$-funktioner, i det här fallet \[1- \frac1{3^s} - \frac1{7^s} + \frac1{9^s} + \frac1{11^s} - \frac1{13^s} - \frac1{17^s} + \frac1{19^s} + \dots\] \[ = \left(1-\frac1{3^s} +  \frac1{9^s}-\dots\right)\cdot \left(1-\frac1{7^s}+\frac1{49^s}-\dots\right) \cdot \left(1+\frac1{11^s}+\frac1{121^s}+\dots\right)\cdots\] \[= \frac{3^s}{3^s + 1}\cdot \frac{7^s}{7^s+1}\cdot\frac{11^s}{11^s-1}\cdot\frac{13^s}{13^s+1}\cdot\frac{17^s}{17^s+1}\cdot\frac{19^s}{19^s-1}\cdots.\] Nu är serien absolutkonvergent (för varje fixt $s>1$), så vi kan skyffla om termerna hur som helst. I synnerhet måste den oändliga produkten konvergera mot samma värde som summan. Variabeln $s$ kan vi tänka på som ett smart sätt att trunkera så att vi får samma resultat oavsett om vi tittar på summan eller produkten.

Om vi gör samma sak med den harmoniska serien, får vi vad som sedermera skulle komma att kallas Riemanns zetafunktion: \[ \zeta(s) = 1 + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \frac1{4^s} + \dots = \frac{2^s}{2^s - 1}\cdot \frac{3^s}{3^s - 1}\cdot\frac{5^s}{5^s-1}\cdot\frac{7^s}{7^s-1}\cdots.\] Även denna serie är absolutkonvergent för varje $s>1$, men den växer mot oändligheten då $s$ minskar mot 1 eftersom den då väsentligen beter sig som den harmoniska serien.

Låt oss först pausa ett ögonblick och begrunda hur långsamt serien för zetafunktionen konvergerar. Vi kan jämföra summan med \[ \int_1^\infty \frac1{x^s}\, dx = \frac1{s-1}.\] För $s=1.01$ till exempel, blir summan lite drygt 100. Men summerar vi de $2^{100}$ första termerna har vi bara kommit halvvägs, och vid $3^{100}$ har vi fortfarande en tredjedel kvar. Tre korrekta decimaler får vi först någonstans kring $10^{500}$!

Men för att jämföra med den förstnämnda $L$-funktionen tittade Dirichlet i stället på en serie med enbart plustecken, men där vi fortfarande bara har med termer som svarar mot tal som slutar på 1, 3, 7, 9. \[1 + \frac1{3^s} + \frac1{7^s} + \frac1{9^s} + \frac1{11^s} + \dots = \frac{3^s}{3^s - 1}\cdot \frac{7^s}{7^s - 1}\cdot\frac{11^s}{11^s-1}\cdot\frac{13^s}{13^s-1}\cdots.\] Vi kan kalla den här serien med bara plustecken för $L_{\bf 1}$ och den med varierande tecken för $L_{\bf -1}$. De kallas som sagt på riktigt för $L$-funktioner, så det är notation som nästan men inte riktigt är standard. I själva verket består $L_{\bf 1}$ av de termer vi får kvar om vi bryter ut faktorerna för 2 och 5 i zeta-serien, dvs \[ \zeta(s) = \frac{2^s}{2^s-1}\cdot \frac{5^s}{5^s-1} \cdot L_{\bf 1}.\] Det betyder att även $L_{\bf 1}$ går mot oändligheten när $s\to 1$, och lite mer precist att \[L_{\bf 1} \approx \frac25\cdot \frac1{s-1}.\] Om vi tittar på produktformerna av $L_{\bf 1}$ och $L_{\bf -1}$  är det förstås intressant att de faktorer som svarar mot primtalen på 1 och 9 är desamma. Det ligger nära till hands att dividera för att kancellera dem och se vad vi kan säga om det som blir kvar. Då får vi \[\frac{L_{\bf 1}}{L_{\bf -1}} = \frac{1+1/3^s+1/7^s+1/9^s+\dots}{ 1-1/3^s-1/7^s+1/9^s+\dots}\] \[= \frac{3^s+1}{3^s-1}\cdot \frac{7^s+1}{7^s-1}\cdot \frac{13^s+1}{13^s-1}\cdot \frac{17^s+1}{17^s-1}\cdot \frac{23^s+1}{23^s-1}\cdot \frac{37^s+1}{37^s-1}\cdots\] Här vet vi från representationerna som serier att $L_{\bf 1}$ går mot oändligheten och $L_{\bf -1}$ mot ungefär $0.64561$ när $s$ närmar sig 1. Kvoten mellan dem går därför också mot oändligheten, och en slutsats av detta är att produkten i högerledet måste ha oändligt många faktorer. Vi får alltså ett nytt bevis för att det finns oändligt många primtal som slutar på 3 eller 7.

Om vi i stället för kvoten tittar på produkten av $L_{\bf 1}$ och $L_{\bf -1}$ blir det primtalen på 3 och 7 vars faktorer (nästan) kancellerar: \[L_{\bf 1}\cdot L_{\bf -1} = \left(\frac{3^{2s}}{3^{2s}-1}\cdot  \frac{7^{2s}}{7^{2s}-1}\cdot  \frac{13^{2s}}{13^{2s}-1}\cdots \right)\] \[\cdot \left(\frac{11^s}{11^s-1}\right)^2\cdot \left(\frac{19^s}{19^s-1}\right)^2\cdot \left(\frac{29^s}{29^s-1}\right)^2\cdot \left(\frac{31^s}{31^s-1}\right)^2 \cdots.\] Här utgörs den första parentesen av "skräp" från primtalen på 3 och 7 och som inte riktigt kancellerar, men som konvergerar mot ett ändligt värde. Ansvaret för det faktum att produkten går mot oändligheten då $s\to 1$ vilar därmed på primtalen på 1 och 9 i de följande faktorerna, som därför måste vara oändligt många.

Om vi vill sortera bort "skräpet" och uttrycka slutsatserna lite mer kvantitativt, kan vi logaritmera alltihop. Eftersom faktorerna ligger nära 1, får vi bara ett begränsat fel om vi använder approximationen $\log x \approx 1+x$ rakt igenom. Då blir slutsatsen av faktoriseringen av $L_{\bf 1}$ att \[ \sum_p \frac1{p^s} = \log\left(\frac1{s-1}\right) + O(1).\] Här uttalar vi oss alltså om vad som händer när $s$ går mot $1$, och termen $O(1)$ står för något som är begränsat som funktion av $s$.

När vi faktoriserar $L_{\bf -1}$ får vi å andra sidan att \[ \sum_{p=11, 19, 29, 31,\dots}\frac1{p^s} - \sum_{p=3, 7, 13, 17,\dots} \frac1{p^s} = O(1),\] dvs differensen mellan de här summorna är begränsad när $s\to 1$. Om vi delar upp primtalen i dem på 1 och 9 kontra dem på 3 och 7, kommer de alltså att bidra med ungefär lika mycket till den totala summan av $1/p^s$. Var och en av summorna i vänsterledet måste alltså vara $1/2\cdot \log(1/(s-1))$ plus något begränsat.

Så här långt var nog egentligen Euler med, och han var ju dessutom en hejare på det här med komplexa tal, men det var först Dirichlet som gick vidare till att titta på faktoriseringar av serier som $L_{\bf 1}$ och $L_{\bf -1}$ men med komplexa koefficienter.

De två lantliga och rejäla serierna $L_{\bf 1}$ och $L_{\bf -1}$ har nämligen två kusiner från den komplexa storstaden, serierna (med fortsatt aningen improviserad notation) \[L_{\bf i} = 1 + \frac{i}{3^s} - \frac{i}{7^s} - \frac{1}{9^s} + \frac1{11^s} + \frac{i}{13^s} - \frac{i}{17^s} - \frac1{19^s} + \dots\] och \[L_{\bf -i} = 1 - \frac{i}{3^s} + \frac{i}{7^s} - \frac{1}{9^s} + \frac1{11^s} - \frac{i}{13^s} + \frac{i}{17^s} - \frac1{19^s} + \dots\] med motsvarande produktrepresentationer \[ L_{\bf i} = \frac{3^s}{3^s-i}\cdot \frac{7^s}{7^s+i}\cdot \frac{11^s}{11^s-1}\cdot \frac{13^s}{13^s-i}\cdot \frac{17^s}{17^s+i}\cdot \frac{19^s}{19^s+1}\cdots\] och \[ L_{\bf -i} = \frac{3^s}{3^s+i}\cdot \frac{7^s}{7^s-i}\cdot \frac{11^s}{11^s-1}\cdot \frac{13^s}{13^s+i}\cdot \frac{17^s}{17^s-i}\cdot \frac{19^s}{19^s+1}\cdots\] som vi kan få fram genom att bryta ut på samma sätt som Euler gjorde med den harmoniska serien.

Med risk för viss historierevisionism vill jag nu börja med att multiplicera ihop de två kusinerna. Då får vi ytterligare en reell serie som vi för tillfället kan kalla $L_{\bf \star}$. Anledningen är att jag först vill se hur långt vi kommer med ren "envarre" (en reell variabel).

På serieform kan vi skriva produkten som \[ L_\star = L_{\bf i}\cdot L_{\bf -i} = \left(1 -\frac1{9^s} +\frac1{11^s} - \frac1{19^s} + \frac1{21^s} - \frac1{29^s}+\dots\right)^2\] \[ + \left(\frac1{3^s} - \frac1{7^s} + \frac1{13^s} - \frac1{17^s} + \frac1{23^s}-\frac1{27^s}+\dots\right)^2.\] Här har vi tagit realdel gånger realdel för sig, och imaginärdel gånger imaginärdel för sig. Eftersom kusinerna är varandras komplexkonjugat, kommer alla termer av typen reell gånger imaginär att kancellera.

I det här fallet kan vi till och med tala om explicit vad gränsvärdet blir när $s\to 1$. Om vi sätter in $s=1$ (detta går ju bra på serieform) blir den första parentesen (realdelen av var och en av kusinerna) lika med \[ \frac{\pi}{10}\cdot \cot\frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10}\cdot \sqrt{5+2\sqrt{5}}\approx 0.96688.\] Varför det blir så är en annan historia, som egentligen börjar med det så kallade Baselproblemet.

Den andra parentesen, imaginärdelen av $L_{\bf i}$, blir \[ \frac{\pi}{10}\cdot \cot\frac{3\pi}{10} = \frac{\pi}{10}\cdot \sqrt{5-2\sqrt{5}}\approx 0.22825.\] Om vi kvadrerar och lägger ihop, får vi \[ \lim_{s\to 1} L_\star = \frac{\pi^2}{10}\approx 0.98696.\] Så länge $s>1$ kan vi även skriva $L_\star$ på produktform genom att multiplicera produkterna för kusinerna. Även produktformen blir helt igenom reell: \[L_\star = \prod_{p=3,7,13,17,\dots} \frac{p^{2s}}{p^{2s}+1} \cdot \prod_{p=11,31,41,\dots} \left(\frac{p^s}{p^s-1}\right)^2 \cdot \prod_{p=19,29,59, \dots} \left(\frac{p^s}{p^s+1}\right)^2.\] Här ligger faktorerna för $p=3, 7, 13, 17, \dots$ så nära 1 att den första produkten går mot ett ändligt värde skilt från noll även när $s$ går mot $1$, medan de följande två grupperna av faktorer har potential att var för sig dra iväg hur långt som helst mot oändligheten respektive ner mot $0$, när $s$ närmar sig $1$.

Om vi jämför detta med produktformen för $L_{\bf 1}\cdot L_{\bf -1}$, blir det igen lockande att dividera det ena med det andra, eftersom faktorerna för primtal som slutar på 1 då kommer att kancellera. Vi får \[ \frac{L_{\bf 1}\cdot L_{\bf -1}}{L_\star} = \prod_{p=3,7,13,17\dots}\frac{p^{2s}+1}{p^{2s}-1} \cdot \prod_{p=19,29,59,\dots}\left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right)^2.\] Vi vet genom serierepresentationerna att $L_{\bf 1}$ går mot oändligheten när $s\to 1$, medan både $L_{\bf -1}$ och $L_\star$ går mot ändliga värden som inte är noll. Hela detta kalas måste alltså gå mot oändligheten när $s\to 1$, vilket bara kan bero på att det finns oändligt många primtal som slutar på 9.

Återigen kan vi multiplicera istället för att dividera, och då är det primtalen på 1 som hamnar i rampljuset: \[L_{\bf 1}\cdot L_{\bf -1}\cdot L_\star = \] \[ \prod_{p=3,7,13,17,\dots}\frac{p^{4s}}{p^{4s}-1} \cdot \prod_{p=19,29,59,\dots}\left(\frac{p^{2s}}{p^{2s}-1}\right)^2 \cdot \prod_{p=11,31,41,\dots} \left(\frac{p^s}{p^s-1}\right)^4.\] Även detta drar iväg mot oändligheten när $s\to 1$, och alla utom primtalen som slutar på 1 har alibi.

Nu har vi använt reella Dirichletserier för att reproducera precis vad vi visste sedan Euklides och Fermat: Det finns oändligt många primtal med slutsiffra 1, oändligt många med slutsiffra 9, och oändligt många med 3 eller 7.

Om vi logaritmerar och taylorapproximerar igen, får vi den något mer precisa informationen att \[ \sum_{p\equiv 1 \text{ (mod 10})} \frac1{p^s} = \frac14\cdot \log\left(\frac1{s-1}\right) + O(1),\] \[ \sum_{p\equiv 9 \text{ (mod 10})} \frac1{p^s} = \frac14\cdot \log\left(\frac1{s-1}\right) + O(1),\] och \[ \sum_{p\equiv 3, 7 \text{ (mod 10})} \frac1{p^s} = \frac12\cdot \log\left(\frac1{s-1}\right) + O(1).\] Men nu kommer det fina med Dirichlets metod: Om vi tar isär parhästarna $L_{\bf i}$ och $L_{\bf -i}$ så att det blir räkning med komplexa tal på riktigt, får vi fram information som skiljer ut primtalen på 3 från dem på 7!

Det ligger nära till hands att titta på kvoten $L_{\bf i}/L_{\bf -i}$ för att kancellera alla primtal på 1 och 9 (och den här gången få omvänt tecken på 3 och 7). Men eftersom vi då får ett tal på den komplexa enhetscirkeln, kokar hela analysen ner till att titta på argumentet för $L_{\bf i}$, alltså vinkeln från den positiva reella axeln.

Som påminnelse: \[L_{\bf i} = 1 + \frac{i}{3^s} - \frac{i}{7^s} - \frac{1}{9^s} + \frac1{11^s} + \frac{i}{13^s} - \frac{i}{17^s} - \frac1{19^s} + \dots\] \[ = \frac{3^s}{3^s-i}\cdot \frac{7^s}{7^s+i}\cdot \frac{11^s}{11^s-1}\cdot \frac{13^s}{13^s-i}\cdot \frac{17^s}{17^s+i}\cdot \frac{19^s}{19^s+1}\cdots\] och \[\lim_{s\to 1} L_{\bf i} = \frac{\pi}{10}\cdot \left(\cot\frac{\pi}{10} + i\cdot \cot\frac{3\pi}{10}\right) \approx 0.96688 + i\cdot 0.22825.\] Från serierepresentationen ser vi att både realdelen och imaginärdelen av $L_{\bf i}$ kommer att vara alternerande serier som uppfyller Leibniz kriterium, så argumentet kommer att ligga i intervallet $[0,\pi/2]$ för alla $s>1$. Vi kan till och med beräkna gränsvärdet av argumentet då $s\to1$ som \[\arctan\left(\frac{\cot(3\pi/10)}{\cot(\pi/10)}\right) = \arctan\left(\sqrt{5}-2\right) = \frac12\,\arctan\frac12.\] Om vi jämför med argumentet för var och en av faktorerna i produktrepresentationen, får vi det märkliga resultatet att \[\arctan\frac1{3^s}-\arctan\frac1{7^s}+\arctan\frac1{13^s}-\arctan\frac1{17^s}+\arctan\frac1{23^s}-\arctan\frac1{37^s}+\dots\] \[ \to \frac12\, \arctan\frac12 \approx 0.23182.\] Här är det plustecken på termerna för primtal som slutar på 3, och minustecken för dem som slutar på 7. Vi måste ha $s>1$, annars vet vi inte (med vårt resonemang här) att vänsterledet konvergerar överhuvudtaget. Men för varje $s>1$ är summan absolutkonvergent, och värdet på denna summa konvergerar sedan i sin tur mot $1/2\cdot\arctan(1/2)$.

Det är frestande att tänka att det ska gå att dra någon slutsats om fallet $s=1$ här, och summerar vi för primtalen upp till en miljon med $s=1$ blir det mycket riktigt ungefär $0.23182$. Man kan fråga sig om det verkligen är möjligt för en summa av den här typen att först ha ett gränsvärde när $s$ närmar sig 1 och sedan bete sig helt annorlunda för $s=1$. Men det är det, för det är som sagt bara att ta termerna i en annan ordning så blir det så. Det betyder att så länge ingenting i vårt resonemang pekar ut ordningen av primtalen efter storlek som det "rätta" sättet att ordna termerna, kan inga generella konvergenssatser hjälpa oss.

Faktum är att summan för $s=1$ ändå konvergerar mot $1/2\cdot\arctan(1/2)$, men det är ett helt annat kapitel av talteorin. Det går att komma åt den typen av summor genom att även låta variabeln $s$ vara komplex, och det var Bernhard Riemann som visade vägen ett par decennier efter Dirichlets artikel, även om inte han heller rodde det i hamn. Även här får vi hänvisa till primtalssatsen för aritmetiska följder.

Det finns en annan utsökt subtilitet i beräkningen av argumentet för $L_{\bf i}$, och det är hur vi vet att summan av argumenten av faktorerna blir just $0.23182$ och inte det talet plus någon multipel av $2\pi$. Det beror egentligen på att vi kan starta med $s$ från oändligheten, då argumentet är nära noll, och sedan kontinuerligt minska $s$ ner till 1. Vi vet från serierepresentationen att $L_{\bf i}$ aldrig kommer att röra sig ut ur den första kvadranten, och värdet kan därför aldrig snurra runt nollan i det komplexa talplanet.

För att återgå till primtalen kan vi göra en linjär approximation av varje term även i ekvationen för argumentet. Om vi använder $\arctan x \approx x$ för varje term, får vi \[\sum_{p=3, 13, 23, 43,\dots}\frac1{p^s} - \sum_{p=7, 17, 37, 47,\dots} \frac1{p^s} = O(1).\] I kombination med vad vi redan visste, blir slutsatsen nu att oavsett vilken av de fyra möjliga slutsiffrorna vi väljer, har vi \[\sum_{p\text{ med fix slutsiffra}} \frac1{p^s} = \frac14\cdot\log\frac1{s-1} + O(1).\] Eftersom högerledet går mot oändligheten när $s\to 1$, vet vi till slut att det finns oändligt många primtal i alla fyra klasserna.

Då har vi ändå bara skrapat på ytan av Dirichlets teorem. I fallet modulo 10 kunde vi konstatera lite ad-hoc att de tre serierna $L_{\bf -1}$, $L_{\bf i}$ och $L_{\bf -i}$ inte kan gå mot noll då $s\to 1$, och vi kunde ganska enkelt se hur argumenten av de komplexa serierna beter sig. Men redan på 1830-talet redde alltså Dirichlet ut vilka $L$-funktioner man får för generellt modulus, varför ingen av dem kan gå mot noll när $s\to 1$, och hur man kombinerar dem för att få en summa som domineras av primtal från en enskild klass. Han kunde alltså bland annat visa att om vi specificerar en sifferkombination hur lång som helst, så finns det alltid oändligt många primtal som slutar med just den sifferkombinationen, förutsatt bara att den allra sista siffran är 1, 3, 7 eller 9.