Sedan har vi det här med volymer. Zlatan Ibrahimovic har fått guldbollen 11 gånger. Om man verkligen gjorde en boll av allt världens guld, skulle den få en diameter på ungefär 25 meter och i stort sett få plats under den här bollbanan.
I högre dimensioner blir det ännu konstigare. Ett bowlingklot ska visst ha en diameter på 22 cm, och skulle förstås precis få plats i en kubisk låda med inre mått 22 cm. Men hur många klot med diameter 20 cm skulle få plats i en sådan låda, det vill säga om kubens sida är 10% större än klotets diameter? Det kan väl fortfarande inte få plats mer än ett kan man tycka, och i tre dimensioner stämmer det. Men i 100 dimensioner går det in två! Och om antalet rumsdimensioner går över en sorts tröskel vid ungefär 600 kommer man att kunna kasta in inte bara två, utan nästan hur många klot som helst slumpmässigt, och de kommer att studsa runt i lådan och nästan aldrig krocka!
I den kurs i linjär algebra som jag brukar hålla på höstarna brukar jag rita hur jag tänker mig att kuber ser ut i hög dimension. Så här ser det ut i mina gamla anteckningar:
Så länge klotet måste ligga i mitten får det bara plats ett, men så fort man kan peta dem en liten bit in i något av spröten, får man in nästan hur många som helst!
"Kan man föreställa sig 10 dimensioner?" frågar studenterna. "Kan man föreställa sig tre?" frågar jag tillbaka, halvt på skämt.
Men bara halvt. De här sakerna kände jag ju till, och jag visste också hur mycket jorden väger. Ändå blev jag på något sätt lite förvånad när jag i en tidigare bloggpost försökte illustrera hur ofattbart mycket $5 \cdot 10^{21}$ är. Jordens vikt i ton lät liksom inte så mycket.
Jorden är ett klot, ungefär 1273 mil i diameter. Metersystemet baserades för övrigt ursprungligen på att avståndet längs jordytan från ekvatorn till en pol ska vara tusen mil, och diametern är $4/\pi\approx 1.273$ gånger den sträckan.
Den är stor, men ändå inte ofattbart stor, tycker jag. På den här bilden ser man södra Sverige och samtidigt jordens krökning. I höstas körde jag en dag rutten Linköping-Rödeby-Göteborg. Det var väldigt mycket skog som susade förbi, och det tog många timmar, mest på 80-vägar. Men det gick på en dag, och då hann jag med att spela schackmatch i division 1 mot Rödeby (i Blekinge) också. Om man tittar på en jordglob eller föreställer sig att man zoomar ut från den här bilden, inser man att sträckan jag körde är ganska liten jämfört med hela jordklotet. Men den är ändå inte så liten att den inte syns. Om jag pekar på min dotters badboll modell jordglob, kan jag förklara för henne att här är Stockholm, här är Göteborg, och här är Polen där gammelmormor och gammelmorfar bor.
Avstånden mellan stjärnorna däremot betraktar jag som bortom min direkta fattningsförmåga. Om jag ska föreställa mig det, får jag skala om flera gånger.
Det lär vara möjligt att under ideala förhållanden se Uranus utan hjälpmedel, men Saturnus är det mest avlägsna jag vet med mig att jag har sett som inte lyser av sig självt. Jag har sett den många gånger men minns särskilt en magisk vårvinterkväll för cirka 15 år sedan med sedermera bortgångne schackvännen och amatörastronomen Arno Platau. Han pekade ut Merkurius, Venus, Mars, Jupiter och Saturnus för det lilla sällskap som hade samlats i Landeryd. Vi kunde se alla fem och dessutom månen, samtidigt. Jag vet inte hur ofta det är möjligt, men gissar att det är ganska sällsynt. Jag, min äldsta dotter och de övriga turades om att titta i teleskopet på Jupiters månar, Saturnus ringar, steniga lilla Merkurius, månens kratrar med mera.
Saturnus var den bortre gränsen för det solsystem som var känt under medeltiden.
Saturnus är större än jorden men syns ändå bara som en liten prick om man inte har kikare, så man ser att det måste vara långt. När den är som närmast och vi ser den i söder vid midnatt, är den hundra tusen jorddiametrar bort. I den skala som ges av badbollen blir det flera mil. Låt oss ändra skala igen, till 1:1,000,000,000,000,000, alltså ett till tusen biljoner. Nu är medeltidens universum en liten kula på ett par-tre millimeter i diameter där inte ens solen är stor nog att urskilja. Kulan får behändigt plats i en ruta på papperet som jag ritade den där kuben på.
I den skalan är ett ljusår 10 meter. Trippelstjärnesystemet Alpha Centauri ligger drygt 40 meter bort. Närmast oss just nu Proxima Centauri med minst en planet i sällskap, och ett par meter därifrån dubbelstjärnesystemet Rigil Kentaurus och Toliman.
Vår galax vintergatan är i den här skalan fortfarande i väldigt runda slängar lika stor som hela Sverige. Stjärnorna, var och en med sitt system av planeter, månar och kometer, ligger som mikroskopiska korn utströdda med några tiotals meter mellan varandra. I mörkret mellan dem driver säkert oräkneliga "rogue planets" och en del svarta hål omkring, men mest är det tomt. Vårt solsystem har virvlat omkring här i miljarder år utan att någonsin passera så nära någon annan tung himlakropp att planetbanorna de där millimetrarna närmast solen har störts. Enstaka klippblock har fallit ner och styrt om kursen för livet på jorden, men inte slagit ut det.
Inte kan det vara särskilt dammigt där ute heller. Om vi tittar upp en klar natt ser vi stjärnorna, men är det lite dimma gör vi inte det. Stjärnljuset kan färdas i tusentals år i rymden för att sedan stoppas upp av några vattendroppar i jordatmosfären.
Ska jag föreställa mig vintergatan, måste jag skala om och skala om och skala om. Annars förblir den bara obegripligt stor. Men jordklotet tycker jag mig kunna fatta. Fast gör jag egentligen det?
Från nordpolen till ekvatorn är det tusen mil. Jordens volym blir då i princip \[\frac{32}{3\pi^2} \approx 1.08\] gånger volymen hos en kub som har tusen mil som sida. Det är nära nog. Låt oss tänka oss att vi delar upp den volymen i kubikmetrar och lägger ut de meterstora kuberna i en lång rad i stället. Hur långt räcker den raden?
Tusen mil är 10 miljoner meter, och kubikmetrarna längs en kant på kuben blir förstås just 1000 mil, nästan en jorddiameter. Tar vi ett "lager" av meterkuber, en kvadratisk sida på tusenmilakuben, blir det 10 miljoner jorddiametrar, 100 gånger så stort som medeltidens universum ut till Saturnus. Det blir en decimeter i skalan 1 till tusen biljoner som jag pratade om nyss. En hundradel av ett ljusår. Men det var bara ett lager, och det finns 10 miljoner sådana lager. Lägger vi ut alla kubikmetrarna efter varandra, räcker de hundra tusen ljusår, tvärs över den hisnande vintergatan!
Jag sa att jag behövde skala om och skala om och skala om för att förstå hur stor vintergatan är. Tre ordentliga omskalningar blir det hur jag än gör. Och det är väl inte så konstigt då egentligen att det blir jordklotet i kubikmetrar. En omskalning gör jorden till en badboll, och det är tre dimensioner. Tio upphöjt till sju, och detta i sin tur upphöjt till tre, blir $10^{21}$.
Men ändå tycker jag det är slående. Och vi kan gå längre, för en kubikmeter är ju inte det minsta vi kan tänka oss. Om vi delar upp jorden i kubikdecimetrar, räcker de 100 gånger så långt (areaskala!). Då är vi långt bortanför Andromedagalaxen. Och med kubikcentimetrar kommer vi en miljard ljusår bort.
Slutligen kan vi föreställa oss att jordklotet skulle vara ett nystan gjort av en enda lång fiberoptisk kabel. Inte bara den tunna tråden alltså, utan hela knippet med hölje och allt, grov nog att hantera men ändå så att den skulle gå genom en av rutorna på mitt rutade papper. Vi tänker oss att det gick en signal från den ena änden av kabeln då jorden bildades, för över 4 miljarder år sedan. Signalen har susat fram i ofattbara ljusets hastighet, 30 gånger sidan på tusenmilakuben varje sekund, alltmedan kontinenter har flyttat sig, vågor slipat ner berg, och fiskarnas ättlingar fått ben och vandrat upp på land. Och den är fortfarande inte framme vid andra änden av kabeln!
No comments:
Post a Comment