Monday, February 13, 2017

Pythagoras schackproblem

Pythagoras sats säger som bekant att sidorna i en rätvinklig triangel uppfyller ekvationen
\[a^2 + b^2 = c^2.\] Det innebär till exempel att en triangel med sidorna 3 och 4 i rät vinkel har hypotenusa kvadratroten ur 9+16, vilket är exakt 5.

På schackbrädet betyder det att om vi mäter avstånd från mittpunkten på rutorna, så ligger exempelvis rutan e5 på avstånd exakt 5 rutor från b1, eftersom den ligger tre steg år höger (i alla fall sett från vits håll) och fyra steg rakt fram.




Jag har under alla år betraktat detta som enbart en konsekvens av Pythagoras sats, och trott att det enklaste sättet att inse att avståndet är 5 är att ta ett rutat papper och rita en kvadrat vars sidor går tre steg i en riktning och fyra steg i den andra, och räkna ut att arean är 25 rutor. Det är ju så man bevisar Pythagoras sats.

Även om jag väl inte har grubblat över det dagligen, så har det stört mig något att man tycks behöva använda area för att definiera avstånd. Avstånd borde ju vara ett mer fundamentalt begrepp. Men det finns ingen symmetri hos brädet som direkt visar att det är lika långt från b1 till e5 som från b1 till b6 eller g1.

Den typ av symmetri jag menar är till exempel den som visar att alla springardrag är lika långa. Den vita springare som startar på b1 har till exempel ett lika långt hopp till a3 som till c3. Det ser vi eftersom man kan spegla rutsystemet i b-linjen. Det är även lika långt till d2 som till c3, vilket följer av att man kan spegla i diagonalen b1-h7. För att riktigt säkerställa dessa likheter i längd bortom allt tvivel noterar vi också att rutsystemet kan roteras 90 grader runt b1 så att rutan a3 överförs till d2.

Häromdagen insåg jag plötsligt att det finns ett sätt att direkt se att sträckan b1-e5 är lika med sträckan b1-g1. Alltså så att det blir uppenbart även för ögat. Nu kanske jag är fånig och har missat något som egentligen var självklart, men jag hade inte tänkt på det här förut. Och då har jag ändå multiplicerat några komplexa tal i mina dagar och förstås noterat att $(2+i)^2 = 3+4i$ medan $(2+i)(2-i) = 5$. Men även komplex multiplikation är väl att betrakta som mer sofistikerat än avstånd.

Så låt mig presentera Pythagoras schackproblem. Vit drar och gör matt i tre drag:




Den pythagoreiska springaren gör här tre hopp och landar lika långt från sitt utgångsläge i de båda huvudvarianterna. Dess väg är utstakad med de svarta pjäserna för att illustrera symmetrin mellan att gå från b1 till e5 respektive från b1 till g1 (men samtliga pjäser fyller också en funktion i problemet!). Det finns även några så kallade icke-tematiska varianter, men vits drag är unika hela vägen.

Ett springarhopp kan ju betraktas som två steg i en riktning följt av ett steg i 90 graders vinkel mot de första. Pythagoras springare gör på tre drag ett springarhopp av springarhopp. Och även alla sådana måste vara lika långa. I springarens värld finns alltså den symmetri jag tyckte mig sakna!

Nu kanske problemkonnässörerna invänder mot att vit schackar i vartenda drag och slår pjäser till höger och vänster. Men problemschack är ju en konstform. Då kan man även välja att bryta så hårt det går mot reglerna, och slå den svarta damen med schack i inledningsdraget. Jag kunde ha ställt någon annan pjäs på d2, men nu blev det exakt en pjäs av varje sort förutom bönder. Kanske finns det ändå en viss elegans i alla schackarna samt i att problemet tack vare avsaknaden av bönder fungerar under alla schackbrädets ovannämnda symmetrier!




No comments:

Post a Comment