Logocent

Vi läser ibland att någonting har ökat eller minskat med si eller så många procent. Ett problem med procenträkningen är att det kan vara oklart vad procenten är procent av. Detta tar sig uttryck bland annat genom att det inte riktigt stämmer när man adderar procentuella förändringar. Om något först ökar med 10 procent och sedan minskar med 10 procent, så är det inte tillbaka till ursprungsnivån, utan den totala effekten är en minskning med 1 procent!

Särskilt snett blir det när, som man förvånansvärt ofta ser, något har ökat med "800 procent" eller "3000 procent". Sådana uttryck väljs väl ibland för att få något att framstå som absurt, eftersom vi på något sätt har med oss att det inte finns mer än 100 procent. För övrigt tycker jag det påminner lite om påståenden som att dinosaurierna dog ut 65 miljoner år före Kristus.

Konventionen är förstås tydlig: Om något ökar med 10 procent, betyder det att ökningen är 10 procent av den tidigare nivån. Glasklart, men fortfarande bara en konvention. Om det sedan minskar med 10 procent, minskar det med 10 procent av den nya högre nivån. Vilket är mer.

Vid flera tillfällen har jag kommit på mig själv med att tänka att om något i stället först minskar och sedan ökar så blir det tvärtom. Men det blir det inte. Det spelar ingen roll i vilken ordning en ökning och en minskning med 10 procent sker. Det blir fortfarande en minskning med 1 procent.

Förklaringen till detta, och till både fördelarna och problematiken med procenträkningen, är att den egentligen är multiplikation, fast förklädd till addition. En ökning med 2 procent betyder en multiplikation med 1.02, och en minskning med 5 procent är detsamma som en multiplikation med 0.95. Så länge procenttalen är små, blir produkten ungefär detsamma som vad man får genom att addera procenttalen: $1.02 \cdot 0.95 = 0.969$, så en ökning med 2 procent kombinerat med (oavsett ordning!) en minskning med 5 procent ger en minskning med ungefär 3 procent. 3.1 för att vara exakt.

Men detta med att approximativt multiplicera genom att i stället addera, är något som har en lång tradition i matematiken! I början av 1600-talet slog logaritmtabellerna igenom, vilket fick enorm betydelse för astronomin (som tillhandahöll de data som sedermera ledde till Newtons gravitationslag).

Historien är intressant (se till exempel Logarithms: The Early History of a Familiar Function), och kanske överraskande för den som har läst matematik från ett modernt perspektiv. Före logaritmerna fanns tabeller över trigonometriska funktioner, och man kände till räknelagar som exempelvis additions- och subtraktionsformlerna
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta).\]
och
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).\]
Men det var inte så att man använde dessa formler för att räkna ut trigonometriska funktioner av $\alpha+\beta$ ur motsvarande värden för $\alpha$ och $\beta$. Beräkningarna i högerledet kräver ju att man multiplicerar, något som var mycket tidskrävande innan det fanns räknemaskiner.

Tvärtom kunde man använda tabeller över trigonometriska funktioner för att utföra multiplikationer! Denna idé beskrevs redan i slutet av 1500-talet av astronomen Nicolai Reymers Ursus, och verkar ha utvecklats av Paul Wittich (en annan astronom) och Jost Bürgi (urmakare och matematiker som även lär ha kommit på logaritmerna före John Napier). Om vi adderar de två formlerna ovan, får vi
\[\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}2.\]
Produkten av $\cos(\alpha)$ och $\cos(\beta)$ är alltså medelvärdet av $\cos(\alpha + \beta)$ och $\cos(\alpha - \beta)$.
Om vi nu vill multiplicera två tal, till exempel 76519 och 61273, använder vi en tabell för att finna $\alpha$ och $\beta$ sådana att $\cos(\alpha)$ och $\cos(\beta)$ är tal mellan 0 och 1 med motsvarande siffror. I det här fallet finner vi (approximativt)
\[\cos(0.69946) = 0.76519\] och \[\cos(0.91129) = 0.61273.\]
Nu kan vi beräkna produkten av dessa tal som medelvärdet av
$\cos(0.69946 + 0.91129)$ och $\cos(0.69946 - 0.91129)$. Vi får
\[\frac{-0.03994 + 0.97765}2 = 0.46885,\]
och slutsatsen blir att \[76519 \cdot 61273 \approx 4688500000.\]
Så småningom upptäckte man att man kunde förenkla förfarandet ytterligare genom att skapa en särskild tabell för logaritmer. Och redan år 1622 konstruerade William Oughtred den första räknestickan (en logaritmtabell på linjalform).

Även i datorernas tidevarv multiplicerar vi genom att addera. En banbrytande algoritm av Arnold Schönhage och Volker Strassen från 1971 använder så kallad Fast Fourier Transform för att omvandla grovjobbet i multiplikation till addition. Och jag funderar på om vi inte genom Fourieranalysen i någon mening är tillbaka till de trigonometriska tabellerna!?

Vi vet alltså sedan mer än 400 år tillbaka att logaritmer (eller deras kusiner, de inversa trigonometriska funktionerna) är det korrekta sättet att transformera multiplikation till addition, och ändå håller vi på och krånglar med procent. Därför tänkte jag att vi kan införa en ny "enhet", som vi kan kalla logocent.

En förändring med 1 logocent innebär helt enkelt en förändring med en faktor vars logaritm är 1 procent, dvs en faktor av cirka 1.010050167. Och en ökning med $x$ logocent är en ökning med en faktor vars logaritm är $x/100$, dvs en faktor $e^{x/100}$.

Fördelarna torde vara uppenbara: För små andelar blir logocent nästan samma som procent. Men addition av logocentuella förändringar stämmer exakt. Om något först ökar med 1 logocent och sedan minskar med 1 logocent, är nivån tillbaka till den ursprungliga. En ökning med 1 logocent följt av en ökning med ytterligare 1 logocent är detsamma som en ökning med 2 logocent.

Vi behöver inte längre fråga oss huruvida en ökning med 17 logocent är en ökning med 17 logocent av det ursprungliga eller av det slutliga värdet. Sjutton logocent är sjutton logocent, och det är lika klart som till exempel en fördubbling. Om A är dubbelt så mycket som B behöver vi inte fråga om det är dubbelt så mycket i förhållande till A eller dubbelt så mycket i förhållande till B. Dubbelt så mycket betyder att det större är dubbelt så mycket som det mindre, och det finns ingen annan vettig tolkning. På samma sätt blir det med logocent: Om X är 17 logocent mer än Y, så är Y 17 logocent mindre än X. Det finns alltså bara en tolkning.

En fördubbling är för övrigt detsamma som en ökning med ungefär 69.3 logocent, eftersom logaritmen av 2 är ungefär 0.693.

Det fina är att vi då inte behöver fundera på vad en halvering blir. En halvering är en minskning med 69.3 logocent. Räkneövningar på temat "ränta på ränta" eller radioaktiva sönderfall och halveringstider blir väldigt enkla när man räknar i logocent. Antag till exempel att vi har pengar i en fond som ger en avkastning på 4 logocent per år. Hur lång tid tar det då för beloppet att fördubblas? Enkelt, de logocentuella avkastningarna adderas bara för varje år. Att nå en $69.3$-logocentig ökning tar därför $69.3/4 \approx 17.33$ år.

Skulle avkastningen inte vara konstant, utan bara i genomsnitt 4 logocent per år, blir det fortfarande rätt. 3 logocent ett år och 5 logocent nästa år blir till exempel exakt samma sak som 4 logocent båda åren.

Så, nu får det vara färdigfilosoferat för den här gången!