Trenden på lång sikt

På internet diskuteras allt som oftast mordstatistik, jordens medeltemperatur med mera. Ny Teknik har till exempel nyligen publicerat en artikel om havsytans nivå och dess förväntade ökning under innevarande sekel. På facebook slår en kommentator fast att havsnivån inte har stigit sedan 2015, medan en annan (inte jag alltså, utan en annan kommentator) förklarar hur havsnivån ständigt förändrats under jordens historia och att det bara är att anpassa sig. Tonen är på andra ställen i tråden ganska hård, men lyckligtvis utbyts inga okvädesord mellan företrädarna för dessa två till synes oförenliga ståndpunkter. Istället tycks de förenas i sitt avfärdande av "miljötalibanerna" och deras prat om en trend över de senaste decennierna.

Det här med trender kan vara knepigt. Fast borde det inte bara vara att ta det stora perspektivet, så ser man tydligare vart den verkliga, långsiktliga, trenden pekar?

Jag tänkte vi kunde titta lite på en matematisk funktion. Det är förstås bara ett räkneexempel (ja ja, den som vill får googla "bara ett räkneexempel") men ändå. Låt oss ta funktionen

\[ \begin{multline} f(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{10^k\sin(x/10^k)}k = \\10\sin(x/10) - \frac{100\sin(x/100)}2 + \frac{1000\sin(x/1000)}3 - \frac{10000\sin(x/10000)}4 +\dots.\end{multline}\]

Det kanske inte är så lätt att se vad det är frågan om, så låt oss titta på en figur, där värdena på $x$ ligger mellan $-10$ och $10$.

Här ser man klart att funktionen $f$ växer: Ju större $x$ är, desto större blir $f(x)$. Men är detta verkligen den långsiktliga trenden? Vi zoomar ut och låter $x$ gå mellan $-100$ och $100$.

Oj, nu ser vi istället sanningen. Trenden är i själva verket avtagande, och den lilla ökningen vi såg i förra figuren var bara ett obetydligt och tillfälligt brott i denna trend. Ännu tydligare borde det bli om vi zoomar ut ännu mer, till $-1000\leq x \leq 1000$.

Aha, det är NU vi ser sanningen. I själva verket hade vi rätt hela tiden (utom nyss när vi hade fel), den SANNA trenden är växande. Nu tittar vi på intervallet $-10000$ till $10000$:

Ok, du som läsare ser nog vart jag vill komma. Den här funktionen har "trender" åt olika håll på alla olika skalor. Varje gång vi zoomar ut med en faktor 10, visar sig den föregående trenden bara vara ett kort avbrott i en ännu större och motsatt riktad trend. Vi tar en sista, från $-100000$ till $100000$:

Så vad är då sanningen? Jo den är att alla de här "trenderna" existerar samtidigt, och att ingen av dem gäller "på lång sikt". Men ska du gissa dig till funktionens "framtida" beteende baserat på dess "historia", är inte alla trender lika relevanta. Ska vi gissa oss till klimatet om femtio år, behöver vi inte ta hänsyn till vare sig tidvattnet eller förändringen i jordaxelns lutning.

Gafflande på bloggen

Att gaffla är en skön konst. Min före detta kollega Peder Berkell berättade hur han en gång (Berkell-Engström 1977) lyckades gaffla samma två pjäser med två av sina egna pjäser - samtidigt!

Bonden på e7 hade redan en gaffel på de två svarta tornen, men det behövdes en till, så vit fyllde på med 32 Se6! Svart var ju för tillfället ett torn över, så efter till exempel 32. exd8D Txd8 hade han kunnat kämpa. Men efter springargaffeln ryker båda tornen; när bonden går i dam måste ju det kvarvarande tornet slå den nya damen!

Mitt bästa bidrag till gafflarnas värld är från Linköpingsmästerskapet, 2002 tror jag det var.

Det här var nog första gången jag mötte Fredrik "Qwarre" Qwarfort. Jag hade först tänkt spela 16. f4, men en inre röst sa mig att det var något speciellt med den här ställningen, och att jag skulle titta lite till (fast min inre röst säger för det mesta att det är roligt att räkna varianter, ända tills en annan inre röst säger att jag är i tidsnöd, varvid den första inre rösten drar slutsatsen att vi måste fortsätta räkna, fast fortare, och att vi därför behöver mer kaffe).

Det finns en säregen geometri här. Antagonisterna är den vita damen och den svarta kungen. Om vi slår en cirkel med linjen mellan dessa två pjäser som diameter, visar det sig att ställningens övriga nyckelrutor också ligger på denna cirkel. Löparen på b3, springaren på b6, och rutan d8 (och även g1 där den vita kungen nöjd ser på) har alla den egenskapen att det blir rät vinkel när de blickar mot vits dam och svarts kung. För mer om schackbrädets geometri får jag hänvisa till en tidigare post om Pythagoras schackproblem.

- Tänk om du skulle slå på f7 och bara ge bort en pjäs rakt av, sa den inre rösten. Jag kan väl inte sitta och tänka på sånt, sa jag. Lägga betänketiden på att fundera över vilket som är det löjligaste sättet att förlora pjäs. - Men tänk om du skulle slå på f7, sa den inre rösten. Och då såg även jag det. Om svart slår löparen rakt, gör min dam ett rakt drag och schackar rakt. Om svart slår diagonalt, gör min dam ett diagonalt drag och schackar diagonalt. I båda fallen ryker springaren på b6 efter att damen svänger av 45 grader. Vi fortsatte 16. Lxf7+! Kxf7 17. Db3+ Le6 18. Dxb6, och jag vann så småningom slutspelet tack vare merbonden.

Kan en pjäs gaffla två motståndarpjäser som båda är av samma sort som den gafflande pjäsen? Ja, det är klart att det går. Om man har laddat upp med torn bakom, kan man ofta ställa fram en bonde mellan två motståndarbönder och nöjt konstatera att nu smäller det någonstans och en linje kommer att öppnas. Men vissa andra möjligheter är lite ovanligare. Nyligen har jag stött på två studier på det här temat. En har jag för mig att jag såg på något föredrag från Saint Louis, men minns inte vilket det var.
Uppdatering: Bo Sjögren, som vet hur man letar, har informerat mig om att denna studie är av ungraren Attila Korányi från 1982. Ställningen var i alla fall den här:

Vit drar och gör remi.

Vit måste försöka stoppa bonden, och det enda som fungerar är 1. Se7! f4 2. Sg6 f3 3. Se5 f2 4. Sg4. Nu kan svart inte förvandla till dam på grund av springargaffeln på e3. Så svarts enda vinstförsök är 4. - f1S. Som den känner till som kan sina springarstudier, vinner tre springare oftast mot en. Men inte alltid, för här kommer 5. Sf6!. Det här är vad jag kallar springargaffel! Springaren kan inte slås för patt, men om den inte slås, ryker en av de svarta springarna.

En annan studie som jag (även den) såg på video och inte känner till någon upphovsperson för, realiserar temat med ett torn gafflandes två motståndartorn.
Uppdatering igen: Bo Sjögren berättar att denna studie är av svensken Sigurd Clausen från 1927.

  

Vit drar och vinner.

Vit börjar med ett par naturliga drag för att försöka få ner en bonde: 1. f7 Tf1 2. gxh7 Th2. Sedan kommer det spektakulära 3. Lf2!!. När jag visade den här studien för gubbarna på Solrosen, drämde Hatim Al-Hadarani in det här draget efter uppskattningsvis 0.2 sekunders betänketid. Han beklagade därefter att jag hade avslöjat lösningen genom att tidigare surra om pjäser som gafflade samma sorts pjäser. Nåja, efter 3. - T1xf2 kommer i alla fall den nu totalt bortspoilade poängen 4. Tg2!!, då det vita tornet gafflar de två svarta.

Lägg märke till att det så att säga är en äkta gaffel och inte bara något slags interferens; om ett av de svarta tornen smiter, slår vit helt sonika det andra. 

Kan en löpare gaffla två löpare? Ja, det kan den väl. På ganska rak arm ställer jag upp följande:

Vit drar och gör remi.

Det går inte att slå på e1, för efter 1. Lxe1? Se4! är vit i dragtvång och måste ge löparen för att inte bli matt direkt. Så vit får i stället gaffla de två svarta löparna: 1. Lf2! Nu står den svarta springaren så perfekt placerad att löparna inte kan gardera varandra!

Fast ska det göras snyggt, ska förstås svart först tvingas förvandla till löpare. Typ om vits löpare hade stått på g1 och svart tidigare hade behövt spela e1L för att inte sätta patt. Men det verkar svårt att få till, så det får vara färdiggafflat för den här gången!

Till marknadsliberalismens försvar

Regeringen och vänsterpartiet presenterade i fredags sitt förslag om begränsningar av vinster i välfärden. Förslaget möter dock motstånd och väntas inte få stöd i riksdagen. Enligt vissa motståndare skulle flera tusen skolor och äldreboenden behöva läggas ner, med katastrofala följder för välfärden, om förslaget blev verklighet. Vart ska stackars mormor ta vägen om äldreboendet försvinner, har du tänkt på det, Jonas Sjöstedt?

Nej det har han inte. För politiker behöver inte analysera ända ner till den nivån. Det finns i stället en teori som kallas nationalekonomi som förklarar hur ett samhälle kan fungera trots att de som styr inte har koll. Teorin bygger på det som brukar kallas tillgång och efterfrågan. På en fri marknad skapas priser för varor och tjänster, och med hjälp av priserna kan man organisera ett företag eller ett helt samhälle i termer av pengar, utan att känna till detaljerna.

Idén bygger dock på att aktörerna på marknaden är fria att fatta egna beslut och fria att efterfråga och skapa, köpa och sälja till priser de själva kommer överens om. Skräckhistorier från kommunistiska diktaturer illustrerar hur det går om man sätter pristak på exempelvis matvaror för att även fattiga ska ha råd med mat. Effekten blir den motsatta. När incitamentet att producera minskar, blir det mindre producerat. Vi har sett bilderna på köerna och de tomma butikshyllorna i det forna östeuropa och nu i Venezuela.

På den svenska marknaden för skola och omsorg är en av aktörerna staten. Staten har ansvar för att bland annat se till att alla barn får gå i skola (vilket till stor del har delegerats till kommunerna, men det är staten som bestämmer och har ansvaret). Det betalar vi skatt för och det är det värt tycker de flesta.

För att fullgöra detta ansvar kan staten (ja ja, kommunerna) köpa tjänster från privata företag, och har sedan drygt 20 år tillbaka betalat för hela skolor i privat regi. Detta har dock visat sig vara förenat med vissa svårigheter. De privata aktörerna plockar russinen ur kakan genom att etablera sig där det med gällande schabloner är lönsamt (vilket generellt verkar vara i socioekonomiskt starka områden där färre elever har särskilda behov och där det är lättare att driva en fungerande skola billigt). I problemområden sitter kommunerna i större utsträckning själva kvar med ansvaret.

När det blir möjligt för privata ägare att ta ut vinst, sipprar detta incitament ner genom organisationen (trickle-down heter det visst på engelska). Rektorer, lärare och annan personal som skulle kunna göra bra saker som utvecklar verksamheten, uppmuntras i stället att så billigt som möjligt uppfylla kravspecifikationen.

Det är svårt för politiker att justera skolpengen och formulera kvalitetskrav så att man får ut det bästa möjliga av denna marknad. Vad de rödgröna nu föreslår är att staten i egenskap av aktör på den fria marknaden ska utnyttja sin frihet till att i stället efterfråga något annat. Istället för att försöka skriva in allt man vill ha av skola och omsorg i en kravspecifikation, bör vi efterfråga att korten läggs på bordet och att vissa pengar öronmärks till själva verksamheten.

Det innebär alltså att man efterfrågar viss insyn i hur något produceras, och inte bara mätbara kvalitetsaspekter på den färdiga produkten. Ungefär som när man efterfrågar ekologiskt, fair-trade eller närproducerat. Vinsttaket, om det blir verklighet, är inte att snedvrida marknaden, det är marknaden. Om den marknaden ska fungera och leda till kvalitet, måste staten få bli bra på att hålla i pengarna och efterfråga rätt saker.  

Men vad händer då om stackars mormors äldreboende läggs ner? Ja även det besvaras av beprövad ekonomisk teori. Aktörer som inte kan producera det som marknaden efterfrågar slås ut, men lämnar då plats åt andra som är bättre. Det är så vårt välstånd har vuxit fram. Men det är svårt att ta till sig marknadsliberalismens paradoxala idéer. Arvet efter Adam Smith möts fortfarande med misstro, särskilt bland alliansens anhängare. Där tror många att hundratusentals svenskar skulle stå utan skola och omsorg om de nuvarande aktörerna valde att lägga ner. Man tänker sig att när man vrider på en ratt ska ingenting annat ändras. Det är samma feltänk som i Venezuela, där man trodde (?) att det går att sänka matpriserna utan att utbudet ändras. Eller som att tro att en miljon svenskar har varit utan hemelektronik sedan Onoff och Expert konkade, för inte kan väl hyllorna på Elgiganten fyllas på bara för det, som av en osynlig hand?

Men blev jag inte lite väl sarkastisk där? Är det rimligt att jämföra skolbarn, sjuka, och gamla med prylar?

Då har cirkeln slutits. Om vi inte tycker att det är rimligt att gammelmormor måste flytta omkring för att privata företag lägger ner till höger och vänster under det att kvaliteten ökar exponentiellt, kanske vi skulle tänka på ett annat sätt från början.

Det som inte är rimligt är att först säga att vi ska släppa in privata aktörer för att det är bra med marknadsekonomi och konkurrens, för att därefter tvärvända och säga att de etablerade företagen måste skyddas från den stora stygga marknaden med dess föränderliga efterfrågan och besvärliga ovilja att drälla med pengar, för att stackars mormor.

Racist AI?

“AI can detect signs of Alzheimer”, “AI can see who is gay”, “AI predicts next recession”. We are getting used to seeing claims that "an AI" can do all sorts of things. And it becomes quite credible, given the amazing stuff we can now download to our phones.

One of the more controversial applications of "AI" is a system apparently already in use in the United States for estimating the likelihood that convicted criminals will reoffend in the future. The whole concept has been criticized for being racist, and because the private enterprise that provides the algorithm doesn't disclose it.

But the implicit assumption, even among many critics, seems to be that if you let a computer do something, it will automatically be fair. Everyone is treated the same. You take away all emotions, prestige, bias, and prejudice, and base the decision on facts and logic only.

A claim that can be found here and in several other articles is that the algorithm has been shown to consistently be much more likely to false-flag black people as high risk of recidivism, and conversely more often mistakenly classify white people as low risk.

An article in Pro Publica then goes on to say that:

"If computers could accurately predict which defendants were likely to commit new crimes, the criminal justice system could be fairer and more selective about who is incarcerated and for how long. The trick, of course, is to make sure the computer gets it right."

No it isn't.

As far as I can see there is no evidence that there is anything wrong with the algorithm. The problem is that the idea of determining time in jail based on statistical predictions of risk of reoffending is incompatible with individual justice, and enforces structural racism.

Let's first straighten one thing out: Even though the AI probably doesn't have direct information about ethnicity or skin color, this correlates with a number of factors like education, employment, living standards and so on. Therefore even if we don't tell the computer who is black and who is white, its output may still correlate strongly with it. So we might as well assume that the AI (indirectly, but still) has information about people's ethnicity and how it correlates with crime.

But even if black people are convicted more often on average than white people, shouldn't the mistakes of the algorithm go equally often in both directions? Isn't the apparent bias an indication that something is wrong with the algorithm?

No. This is the problem. And it has to do with a simple mathematical fact that won't go away no matter how you tinker with the algorithm.

Suppose instead, just to take a less controversial and more clear-cut example, that you would try to predict the outcomes of games in some sports event like a soccer league. You can see from statistics that team A seems to be the strongest, winning more than 50% of its games no matter the opposition, and conversely that team Z loses a majority of their games even against the weaker of the other teams.

Then your best bet isn’t going to be some scenario where team A wins 70% of the games, or whatever their statistics is. Instead you maximize your expected number of correct predictions by guessing that team A will win every single game, and similarly that team Z will be losing all the time.

This guess, which is the best one given the information you have, will appear unfair if you look at the cases where it was incorrect. It will happen much more often that team Z is incorrectly predicted to lose, and that team A is incorrectly predicted to win, than the other way around. Because in this example the other way around never happens, as team A is always predicted to win, and team Z always predicted to lose.

The same thing will probably happen (to some extent, but less clear-cut) if we try to guess whether people will commit crimes based on for instance their level of education and where they live (things which incidentally also correlate with ethnicity).

And there is no way of making this go away by fixing a bug in the algorithm, because it doesn't have anything to do with the computer or the code. If you try to predict criminality based on a factor X that correlates with it, then people who have X will more often be labeled high-risk, and also more often be false-flagged as high-risk.

Letting such predictions influence penalties is simply incompatible with individual justice.

There is much more to be said about this, for instance regarding the fact that there is a strong political movement in Sweden and in many other countries that would like to have precisely this form of structural discrimination and that actually prefers that to individual justice, as long as they get to choose which factors to incorporate (like being an immigrant) and which factors to ignore (like membership in the Nordic Resistance Movement).

Besserwisserpoker

Besserwisserpoker är ett kortspel som jag hittade på efter en diskussion på Olle Häggströms blogg för snart fem år sedan, och som jag nämnde igen för några dagar sedan då jag var hos mina vänner Lori och Fredrik. I deras sällskap kommer samtalet lätt in på matematik, spel, sannolikheter, betting, poker, och överhuvudtaget hur man tänker för att fatta rationella beslut.

Men det började med att Bo "bosjo" Sjögren frågade Olle hur man kan bedöma vem som är bäst på att tippa stryktips av två personer som, i stället för att bara välja 1, X eller 2 på varje match, får sätta procentsatser på de tre utfallen. Diskussionen kom att involvera logaritmer, entropi, begreppet ärlighet, Avogadros tal, och McCutcheonvarianten (en spelöppning i schack som verkar omges av en sorts kult). Den lär även ha renderat mig en nominering till Svenska Besserwisserföreningens hangaroundavdelning, men det är oklart om jag blev invald.

Nåväl, idén är att om till exempel person A ger utfallen 1, X och 2 sannolikheterna 55%, 20%, 25%, medan B säger 40%, 25%, 35%, och det sedan slutar med att hemmalaget vinner (alltså en etta), tyder detta på att A var lite bättre än B, i och med att A angav högre sannolikhet (55%) än B gjorde (40%) för det som faktiskt hände. Hade i stället bortalaget vunnit, skulle vi ha haft viss anledning att tro att B var bättre på att tippa.

Men om vi skulle låta A och B ange procenttal i 13 matcher och helt sonika addera de tal som tilldelats matchernas faktiska utfall, skulle det löna sig, för den som vill framstå som duktig på att tippa, att sätta 100% på det utfall man betraktar som mest sannolikt. Vi kunde då lika gärna ha låtit A och B tippa varsin rad på vanligt sätt.

Olles svar var att i stället addera logaritmerna av procenttalen. Ett värdigt besserwissersvar (notera att epitetet besserwisser har positiv klang i Olles värld), men hur motiverar man detta utan att gräva ner sig i analys och sannolikhetsteori?

En kommentator vid namn Norpan föreslog vad som ser ut att vara ekvivalent, nämligen att multiplicera procenttalen och låta produkten bli respektive tippares poängtal. Att addera logaritmer är ju enligt räknelagarna detsamma som att först multiplicera talen och sedan logaritmera, så man borde kunna jämföra tipparskickligheten hos A och B genom att jämföra produkterna av deras procenttal.

Med Norpans förslag räcker det med mellanstadiematematik, men kruxet är att om man försöker maximera väntevärdet av sin poäng, lönar det sig fortfarande att sätta 100% på det man tror mest på, trots att detta oftast ger noll poäng i slutändan! Problemet gick till slut att lösa utan logaritmer, men det jag tänkte prata om här är ett kortspel som modellerar situationen. Jag kallar det för Besserwisserpoker, och den som vill veta varför får titta på Olles blogg.

Spelet går ut på att gissa vilken av tre pokerhänder som blir starkast. De två spelarna A och B startar med ett rejält antal marker, minst tio tusen var. Kanske hundra tusen är bättre, för de kommer att försvinna snabbt! Man får ha något slags växlingssystem.

I varje runda blandar man en vanlig kortlek och delar ut tre händer med två kort vardera som i pokervarianten Texas Holdem, samt en "flopp" bestående av tre gemensamma kort. Baserat på dessa kort (som båda spelarna ser) fördelar varje spelare sina marker mellan de tre händerna. Dessa satsningar görs "simultant" i den meningen att varje spelare måste bestämma sin fördelning av marker utan att se hur motståndaren gör.

Därefter (och spelarna får nu se hur motståndaren satsade) delar man ut ytterligare två gemensamma kort. I poker kallas dessa traditionellt turn och river. Styrkan hos var och en av de tre händerna bestäms nu, precis som i Texas Holdem, av den bästa pokerhand som går att åstadkomma genom att välja ut fem av de sju tillgängliga korten (de två på respektive hand samt de fem gemensamma).

När det har konstaterats vilken eller vilka av de tre händerna som är starkast, får spelarna tillbaka de marker som satsades på dessa händer. Vinnaren är den som efter 13 omgångar har flest marker kvar, eller som i ett tidigare skede har marker kvar när motståndarens marker har tagit slut.

När man har delat ut en giv, kan det till exempel se ut så här:

Ingen hand har något par, så hand 1 är för tillfället starkast i kraft av sitt ess. Det kan i förstone verka som om händerna 2 och 3 är ungefär lika starka. Men hand 2 har förutom möjligheten till ett par också stegdrag, och litet färgdrag, alltså möjlighet till stege om det kommer en åtta, eller färg om det kommer två klövrar. Hand 3 å andra sidan är dominerad av hand 1 i den meningen att om det kommer en fyra, är hand 1 fortfarande bättre, och får hand 3 stege, så får hand 1 också stege.

Kontentan blir att hand 2 är nästan lika bra som hand 1, medan hand 3 ligger betydligt sämre till. Det finns $43\cdot 42 / 2 = 903$ möjligheter för de sista två gemensamma korten, och ett litet datorprogram räknar ut att hand 1 vinner ensam 444 gånger (mindre än hälften!), hand 2 vinner ensam 353 gånger, och hand 3 vinner ensam bara 84 gånger. 22 gånger får man pengarna tillbaka på både hand 1 och hand 3.

Hur ska man då satsa? Det kan vara frestande att fördela sina marker mellan enbart händerna 1 och 2. Om någon av dessa vinner, har det lönat sig att inte slösa bort något på hand 3. Men om motståndaren satsar några få marker på hand 3, blir problemet att den fördel man får när hand 1 eller 2 vinner blir mycket mindre än vad man förlorar om hand 3 skulle råka vinna.

Om man spelade ett enormt stort antal händer (och startade med ett bortom astronomiskt antal marker), skulle de optimala satsningarna behöva vara väldigt nära proportionella mot händernas sannolikheter att vinna (med vissa justeringar för möjligheten att flera händer vinner). Men när bara några få givar återstår, kommer det in spelteoretiska aspekter.

För att göra spelet skarpare kan man bestämma att en viss spelare, till exempel A, har vunnit om spelarna har lika många marker kvar på slutet (eller får slut på marker samtidigt). Denna fördel kan balanseras genom att B får starta med något fler marker.

Låt oss säga att det ser ut så här på sista given, och spelarna har en mark var kvar:

Om man tillät oavgjort skulle avslutningen bli ganska slätstruken: Hand 3 har par i nior och kommer att vinna mer än hälften av gångerna. Om jag satsar min mark på hand 3, gör du bäst i att satsa på samma sätt. Den som avviker hamnar alltid i underläge. Men om A kommer att deklareras vinnare vid lika antal marker blir det mer spännande. Spelare B måste då försöka hitta på något annat. Om A satsar på hand 3 medan B väljer att satsa på hand 1 (som får stege både på en åtta och en fyra!), kommer B att vinna mer än var tredje gång.

Fast det är inte så enkelt heller. Om A anar att B tänker satsa på hand 1, kan A korsa B:s planer genom att också satsa på hand 1! Fast B kan förstås då vara en riktig lurifax och i stället själv satsa på hand 3!

Så hur ska man då spela? Svaret är att de optimala strategierna är randomiserade. För att inte bli lurad ska du i princip ha en personlig och hemlig slumptalsgenerator som i viss mån styr ditt spel. I det här fallet vinner den första handen 323 gånger och den tredje handen 487 gånger, av 903. Hand 2 vinner 93 gånger, vilket är för lite för att det ska vara rätt att någonsin satsa på den. Med bara två alternativ är regeln att spelare A, som har fördel, ska göra fel på hand 1 och hand 3 lika ofta åt båda hållen, medan spelare B som är underdog ska gissa rätt lika ofta på hand 1 som på hand 3. A ska alltså betta på hand 1 med sannolikhet $323/(323+487)$ och på hand 3 med sannolikhet $487/(323+487)$, och för B blir det tvärtom. Spelare B vinner med sannolikhet \[\frac{323\cdot 487}{(323+487) \cdot 903},\] eller ungefär 21.5%, och A alltså med sannolikhet 78.5%.

Mer komplicerat blir det om spelarna har flera marker kvar och alla tre händerna är aktuella att satsa på. Men det får räcka med spelteori för den här gången!

Yatzy!

Svensk sommar är inte bara jordgubbar, mygg och bondbränna. Regniga dagar i sommarstugan hör det också till att man spelar Yatzy. Och ljusa grillkvällar kan man köra trädgårdsvarianten!

Det viktigaste är förstås att man har roligt när man spelar. Och extra roligt blir det ju när man vinner!

Ett parti yatzy handlar i hög grad om tur med tärningarna, men man kan definitivt hjälpa till själv genom de beslut man tar. Något som kanske förvånar den som mest har kört på känn är att en bra strategi kan snitta nästan 250 poäng! Eller 248.44 för att vara mer exakt. Jag skulle tro att de flesta du möter spelar bort 20 poäng eller mer per parti på beslut som inte är optimala, så om du spelar smart kan du få betydligt mer än din beskärda andel av vinster!

Här följer några tips på hur du kan tänka när du spelar. De förutsätter att du kan reglerna och har spelat ett par gånger. Tipsen bygger på vad jag själv har noterat i data från en algoritm av Jakub Pawlewicz som jag implementerade för "skandinavisk" yatzy för några år sedan. Jag plockade nyligen fram programmet igen efter att ha diskuterat yatzy med vännen Patrik Höglund, som experimenterar med att lära neurala nät spela. Tack Patte!

Mina rekommendationer skiljer sig från gängse strategi för amerikansk yatzy, vilket förklaras av skillnader i reglerna. Till exempel har vi två extra kategorier (Ett Par och Två Par), högre bonus, och räknar prickar på kåk i stället för att ha ett fast poängtal. Det här gör att det blir både lättare och viktigare för oss att få bonus, och att vi överlag fokuserar mer på femmor och sexor.

1. Säkra bonusen!
Ska du vinna i yatzy så ska du se till att få de 50 bonuspoängen, så är det bara. Vad du bör tänka på är att det är mycket viktigare att få många femmor och sexor än att få många ettor. Om du till exempel får 6-4-2-1-1 i första slaget, så spara sexan, inte ettorna! Detta har också att göra med att kombinera chanserna: Sparar du sexan kan du få en annan bra kombination, till exempel ett högt tvåpar eller en bra kåk.
Ett tidigt fyrtal i femmor eller sexor gör att du kan chansa friare i fortsättningen (se punkt 6). Se till att ta det ovanför strecket, inte på Fyrtal!

2. Håll koll på hur du ligger till för bonus!
Gränsen för bonus ligger vid 63 poäng, vilket är vad du får med tre av varje på fälten Ettor till Sexor. Du kan därför enkelt hålla koll på läget genom att jämföra med det. Om du till exempel får 20 på femmor, innebär det att du ligger +5. Skulle du sedan nöja dig med 1 poäng på Ettor, ligger du fortfarande +3, och så vidare. En tumregel är att aldrig hamna på minus med detta räknesätt. Det går förstås inte att garantera, men med en bra strategi ska du sällan riskera att missa bonusen.

3. Kombinera chanserna!
Du behöver inte bestämma dig för att försöka få en viss sak och samla till det. Spara hellre bra tärningar och se vad det blir. Om du till exempel får 6-5-2-2-1 i allra första slaget, så spara 6-5! Då kan du nästa gång bestämma om du ska satsa på femmor, sexor eller både-och.
Det är sällan man ska spara mot en straight. Undantaget är om du får 5-4-3-2. Då lönar det sig ofta att försöka sig på en straight eftersom du har chansen till både Stor och Liten. Dock är det bra om du i så fall har någon idé om vad du ska göra de nästan hälften av gångerna då detta misslyckas (se till exempel punkt 5 och 6!).

4. Spara inte på småkrafs!
Som redan har antytts bör du oftast inte spara låga par såvida du inte behöver en viss siffra för bonusen. I skandinavisk yatzy är det bara Yatzy som ger något annat än summan av de ingående tärningarna. Stegarna har förstås en fast poäng, men det du fyller i på Ett Par, Tvåpar, Tretal, Fyrtal, Kåk och Chans bör domineras av fyror, femmor och sexor. En kombination som 6-6-1-1 hör hemma på Ett Par eller Ettor, inte på Tvåpar. Mot slutet av partiet kan du dock få nöja dig med att överhuvudtaget få poäng, i synnerhet på Kåk och Fyrtal.

5. Chans är ingen slaskhög!
Använd inte Chans bara som en utväg när du inte får någon bra kombination! Fältet Chans bör helst ge minst 21 poäng. Sitter du med bara skräp efter tredje kastet är det oftast bättre att till exempel stryka Liten Straight.
Å andra sidan ska du inte vara rädd för att "slösa bort" Chans tidigt om du får bra poäng. Får du 6-6-5-4-3 tidigt, så tag Chansen! Ett Par kommer du att få igen.

6. Ettor kan vara en bra slaskhög!
Om du ligger bra till för bonus, till exempel för att du tidigt har fått 24 poäng på Sexor, kan du med fördel använda fältet Ettor som "fallskärm" efter misslyckade försök att få svårare kombinationer. Ettor kan i sig ge max 5 poäng, så om inte bonusen är i fara är det i regel bättre att stryka Ettor än att till exempel ta futtiga 17 poäng på Chans. Det här är anledningen till att du kan chansa friare om du tidigt säkrar bonusen.

7. Stryk smart!
Att behöva stryka är förstås inte roligt, men det är bara i riktigt festliga fall du kan få hela protokollet ifyllt. För det mesta kommer du att missa några kategorier, men det gör dina motståndare också. Du kan tjäna viktiga poäng genom att stryka i tid!
Om bonusen är säkrad kan du ibland offra Ettor, men i annat fall kan du behöva stryka ett svårare fält när du hade kunnat få poäng på ett lättare. Nöj dig inte med 12 poäng på Tvåpar om du i stället kan stryka Liten Straight!
Jag har ett vagt minne av att jag en gång behövde förklara för mina kära släktingar att jag inte alls var sur och att jag visst ville fortsätta spela, efter att jag hade strukit Liten Straight i första omgången!
Men Pawlewicz' algoritm ger mig upprättelse: Blir du sittande med till exempel 6-4-3-3-1 efter första omgången och säger "Äsch, 6 poäng på treor!" så har du valt det sjätte bästa alternativet. Att stryka Liten Straight är bäst. Därefter kommer att ta 1 poäng på Ettor, att stryka Stor Straight, att ta 17 på Chans, samt att ta 6 på Ett Par.

8. Var inte rädd för att stryka Yatzy!
Det bär emot att behöva stryka Yatzy. Det är liksom att ge upp spelets idé, det hörs ju på namnet. Och tänk bara nesan att sedan få Yatzy och så har man redan strukit det!
Att stryka Yatzy är dock inte som att offra kungen i schack. Du kan vinna ändå, till och med över en motståndare som har fått Yatzy. 50 poäng känns mycket, men det är faktiskt inte så ovanligt att det äts upp av övriga poäng. Nu låter det som om jag säger tvärtemot vad jag sa nyss om bonusen, men skillnaden är att du inte kan spara ihop till en Yatzy. Du kan inte öka Yatzychanserna särskilt mycket genom att offra annat.
Chansen att få Yatzy på en omgång (tre kast) är ungefär 4.6%. Även om du bara satsade på Yatzy genom hela spelet, skulle chansen att lyckas nätt och jämnt komma över 50%.

9. Överblick: Siffror, Lätta, Svåra, och Yatzy.
Ett sätt att överblicka de femton fälten på spelplanen är att gruppera dem i Siffror, Lätta, Svåra, och Yatzy. Sifferfälten är Ettor till Sexor. Därefter har vi fyra lätta fält: Ett Par, Tvåpar, Tretal och Chans (även om Chans står längre ner i protokollet). Dessa fält kommer du nästan alltid att få poäng på. Sedan kommer fyra svåra fält: Fyrtal, Liten och Stor Straight, och Kåk. Här kommer du oftast att behöva göra någon eller ett par strykningar. Slutligen har vi det svåraste fältet av alla, Yatzy!
Om du tänker så, kan du hålla reda på vilka fält du har kvar och ungefär hur du ligger till. Ett sätt att grovt hålla koll på spelarnas chanser är att utgå från att alla får bonus och att alla får poäng på de lätta fälten. Sedan blir de svåra fälten mer utslagsgivande. I väldigt runda slängar är det 20 poäng per svårt fält. Och förstås 50 för Yatzy.

10. Ta ut målvakten? Två svåra kompenserar Yatzy!
Som vi har varit inne på kan det vara dumt att ha Yatzy kvar till sist eftersom du blir utan poäng 19 gånger av 20. Å andra sidan kanske du behöver 50 poäng för att komma ikapp den som leder. Att spara Yatzy till sist är lite som att ta ut målvakten. Det ger chansen att vända ett underläge, men oftast lyckas det inte.
Om du ligger bra till kan det vara bättre att stryka Yatzy tidigare (inte för tidigt dock, yatzyrutan är värd betydligt mer tidigare i spelet!). Men om någon annan redan har fått Yatzy, ger jag då inte i praktiken upp mina chanser att vinna? Här kan en tumregel vara att du har rimliga chanser att slå en motspelare som har fått yatzy om du klarar två svåra fält mer. Det räcker inte riktigt i sig, men oftast är det så att den som har fler strykningar också har sämre poäng på de lätta fälten.

Äsch. nu blev det precis tio punkter. Vad fånigt!

Misslyckad penisbluff

I maj i år publicerade tidskriften Cogent Social Sciences en märklig artikel av filosofen Peter Boghossian och matematikern James Lindsay. Artikeln har titeln The conceptual penis as a social construct, och förklarar bland annat att penisen bäst förstås som en social konstruktion snarare än anatomiskt.

Samtidigt beskrev artikelförfattarna på bloggen skeptic.com hur de avsiktligt hade skapat en nonsenstext i syfte att avslöja genusvetenskapen som ideologiskt styrd och ovetenskaplig.

Detta så kallade conceptual penis hoax gick dock rejält snett. Som redan har påpekats, till exempel här, här, och här, är Cogent Social Sciences en medioker tidskrift av den typ där författarna förväntas betala för publicering. Att man där får in en nonsensartikel tyder ingalunda på något problem hos just genusvetenskapen, utan bekräftar bara vad vi akademiker redan visste, nämligen att det slarvas med granskningen på många håll.

Den som inte känner till floran av "vetenskapliga" tramspublikationer kanske då invänder att det här väl måste ta priset, och att det nog ändå säger någonting om genusvetenskapen när man publicerar så uppenbart svammel. Men nej, det gör det inte. Träsket av skräptidskrifter med påstådd “peer review” är verkligen bottenlöst och trotsar alla ämnesgränser. Och penisbluffen är inte i närheten av något pris.

Ett annat uppmärksammat exempel är den tio sidor långa artikeln Get me off your fucking mailing list, där textmassan endast består av upprepningar av denna titel. Denna “artikel” accepterades år 2014 av tidskriften International Journal of Advanced Computer Technology efter påstådd peer review (men drogs tillbaka av den förvånade “författaren”).

Publiceringshetsen och förlagens möjligheter att mjölka forskningsinstitutioner på skattepengar driver på mot en marknad där vi bland skräppublikationerna finner hela skalan från datorgenererat blaj upp till hederlig men misslyckad forskning. Jag skulle som matematiker kunna peka ut artiklar med den matematiska jargongens motsvarighet till den konceptuella penisen, publicerade av väletablerade förlag, och som inte ens är fejkade.

Genom åren har jag i olika sammanhang diskuterat sådana gränslöst dumma men ändå efter peer review publicerade artiklar inom mitt eget och angränsande områden som fysik och datavetenskap. Men jag tror aldrig att det har föresvävat någon att dessa publikationer skulle peka mot bristande vetenskaplighet generellt inom matematik, teknik eller naturvetenskap. Många som flabbade åt Get me off your fucking mailing list noterade förmodligen inte ens att den hörde till fältet datavetenskap. Detta var uppenbart oväsentligt.

Men nu var det genusteori som Boghossian och Lindsay gjorde parodi på. Och det slog an något hos dem som retar sig på feminism och genus. Äntligen tyckte de sig kunna påvisa hur alltigenom tramsigt detta är.

Bland dem som tog chansen fanns Göteborgs-Postens ledarskribent David Eberhard. Han dundrade näven i bordet och krävde att man "rensar upp i genusdårskapen". “Ett litet axplock i det postmodernistiska flödet kan illustrera hur illa det är ställt med vetenskapligheten inom området”, påstår han.

Nej, det kan det inte. Eller för att vara mer precis, ett sådant axplock påvisar ingenting. Eberhard citerade ett antal genusartiklar, men frågan blir varför han inte passade på att i samma veva vederlägga matematik, naturvetenskap och sitt eget ämne medicin genom en snabb googling på till exempel "nonsense publication".

Ett verkligt problem är dock allmänhetens och många av mina forskarkollegors överdrivna förtroende för den granskningsprocess som kallas “peer review”. Denna process innebär att någon eller ett par forskare anonymt och utan ersättning ombeds granska en inskickad artikel, och deras rapporter förblir konfidentiella. Trots att processen undandrar sig insyn, och trots de otaliga exemplen där det har gått snett, betraktas peer review som en gold standard för vetenskaplig kvalitet.

Historien om den konceptuella penisartikeln är intressant på flera plan. Man kan fråga sig vad det beror på att genusforskningen pekas ut som ovetenskaplig på basis av en bluffartikel och att historien valsar runt på sociala medier där var och varannan kommentator anser sig kunna bedöma hela detta fält, samtidigt som matematik, teknik och naturvetenskap verkar stå över motsvarande misstankar.

Nu har den aktuella bluffartikeln som sagt redan kritiserats från många håll, men det är inte första gången genusvetenskapen ifrågasätts med citat som påstås "tala för sig själva". För cirka tio år sedan trendade genus som ett buzzword inom forskningsansökningar, något som till exempel bloggaren Tanja Bergkvist (egentligen med rätta) retade sig på. I Svenska Dagbladet raljerade hon över forskningsprojektet Trumpeten som genussymbol, med utdrag ur projektansökningen. Artiklar om detta forskningsprojekt har delats flera gånger på facebook av trumpetande vänner, och jag gissar att det är ett av de mest hånade projekten i Vetenskapsrådets historia.

Jag kan inte uttala mig om kvaliteten på trumpetprojektet, men så vitt jag kan se handlar det om forskning i musikhistoria som åtminstone faktiskt har bedrivits. Frågan är varför det inte blir rabalder på debattsidorna vartenda år när forskare i till exempel mitt och Bergkvists ämne matematik får anslag för modeord som bioinformatik (trendade runt millennieskiftet) eller big data (på senare år), när det i vissa fall kan misstänkas att de sökande inte ens känner till att begreppen i fråga finns på riktigt. Vad beror det på att vissa forskare hudflängs i media, medan andra kommer undan?

Kan vi verkligen utesluta den ironiska möjligheten att genusfaktorer spelar in i detta?

Det är oklart vad kritikerna anser är fel med genusvetenskapen och vad den av Eberhard efterfrågade "upprensningen'' skulle bestå i. Ovannämnda utbud av skräpartiklar är en konsekvens av en internationell fri marknad, där den enda upprensning vi kan göra är att påverka svenska myndigheter att sluta betala för eländet (hur och varför vi fortsätter att betala är en annan diskussion).

Ska genusteorin rensas ut för att genusfrågor är oviktiga? Fast tanken att skillnaderna mellan män och kvinnor är så små att de av den anledningen inte förtjänar att studeras är inte vad till exempel Eberhard annars brukar föra fram.

Eller är problemet helt enkelt att de som forskar i genusteori är för dåliga på det? Då blir frågan varför inte bättre forskare tar över spelplanen och konkurrerar ut de sämre. Borde vi kanske satsa mer pengar på genusvetenskap för att därigenom locka starkare forskare? Borde Eberhards rubrik i stället ha varit "Rusta upp i genusvetenskapen"?

En ytterligare möjlighet är att genusforskningen har hamnat i ett låst läge där mediokra forskare styr och sätter normerna, medan starkare forskare på grund av dessa normer inte kan hävda sig. Menar Eberhard att det därför krävs en "upprensning" där man bryter mönstret genom att politiskt tillsätta tjänster avsedda för dessa starkare forskare, trots att de enligt gängse inomvetenskapliga kriterier är sämre meriterade?

Detta är en intressant tanke, och man kan fråga sig om sådana låsningar kan ha uppstått tidigare, inom andra akademiska discipliner.