Trenden på lång sikt

På internet diskuteras allt som oftast mordstatistik, jordens medeltemperatur med mera. Ny Teknik har till exempel nyligen publicerat en artikel om havsytans nivå och dess förväntade ökning under innevarande sekel. På facebook slår en kommentator fast att havsnivån inte har stigit sedan 2015, medan en annan (inte jag alltså, utan en annan kommentator) förklarar hur havsnivån ständigt förändrats under jordens historia och att det bara är att anpassa sig. Tonen är på andra ställen i tråden ganska hård, men lyckligtvis utbyts inga okvädesord mellan företrädarna för dessa två till synes oförenliga ståndpunkter. Istället tycks de förenas i sitt avfärdande av "miljötalibanerna" och deras prat om en trend över de senaste decennierna.

Det här med trender kan vara knepigt. Fast borde det inte bara vara att ta det stora perspektivet, så ser man tydligare vart den verkliga, långsiktliga, trenden pekar?

Jag tänkte vi kunde titta lite på en matematisk funktion. Det är förstås bara ett räkneexempel (ja ja, den som vill får googla "bara ett räkneexempel") men ändå. Låt oss ta funktionen

\[ \begin{multline} f(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{10^k\sin(x/10^k)}k = \\10\sin(x/10) - \frac{100\sin(x/100)}2 + \frac{1000\sin(x/1000)}3 - \frac{10000\sin(x/10000)}4 +\dots.\end{multline}\]

Det kanske inte är så lätt att se vad det är frågan om, så låt oss titta på en figur, där värdena på $x$ ligger mellan $-10$ och $10$.

Här ser man klart att funktionen $f$ växer: Ju större $x$ är, desto större blir $f(x)$. Men är detta verkligen den långsiktliga trenden? Vi zoomar ut och låter $x$ gå mellan $-100$ och $100$.

Oj, nu ser vi istället sanningen. Trenden är i själva verket avtagande, och den lilla ökningen vi såg i förra figuren var bara ett obetydligt och tillfälligt brott i denna trend. Ännu tydligare borde det bli om vi zoomar ut ännu mer, till $-1000\leq x \leq 1000$.

Aha, det är NU vi ser sanningen. I själva verket hade vi rätt hela tiden (utom nyss när vi hade fel), den SANNA trenden är växande. Nu tittar vi på intervallet $-10000$ till $10000$:

Ok, du som läsare ser nog vart jag vill komma. Den här funktionen har "trender" åt olika håll på alla olika skalor. Varje gång vi zoomar ut med en faktor 10, visar sig den föregående trenden bara vara ett kort avbrott i en ännu större och motsatt riktad trend. Vi tar en sista, från $-100000$ till $100000$:

Så vad är då sanningen? Jo den är att alla de här "trenderna" existerar samtidigt, och att ingen av dem gäller "på lång sikt". Men ska du gissa dig till funktionens "framtida" beteende baserat på dess "historia", är inte alla trender lika relevanta. Ska vi gissa oss till klimatet om femtio år, behöver vi inte ta hänsyn till vare sig tidvattnet eller förändringen i jordaxelns lutning.